Triple integración para área de superficie

Question

Necesito encontrar el área superficial de la esfera $x^2+y^2+z^2=10^2$ sobre el cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$

Necesito utilizar la fórmula $$\int \int \int _E \sqrt{f_x (x,y,z)^2+f_y(x,y,z)^2+f_z(x,y,z)^2+1}\ DA$$ en términos de coordenadas esféricas. Así que mi intento de configurar esto fue $$\int \int \int _E \sqrt{4(x^2+y^2+z^2)+1}DA \\ = \int \int \int _E\sqrt{4p^2 +1}\ p^2\sin\phi \ dp d\theta d\phi$$ donde $$0\leq\theta\leq 2\pi \\ 0\leq p \leq 10 \\ 0\leq \phi \leq \pi/4$$ pero todavía no estoy obteniendo la respuesta correcta. Creo que mis límites son incorrectos o tal vez el integrando en sí está incorrecto.

Answer 1

Estamos buscando el área de la superficie de la parte de la esfera y por lo tanto $\rho = 10$.

El elemento de área de la superficie en coordenadas esféricas está dado por $ \rho^2 \sin \phi ~ d\phi ~ d\theta$

Entonces la respuesta debería ser,

$ \displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/4} 10^2 \sin \phi ~ d\phi ~ d\theta = 100 (2 - \sqrt2) \pi$

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Para ver por qué el elemento de área de la superficie es $\rho^2 \sin \phi$, parametriza la superficie de la esfera como,

$r(\phi, \theta) = (\rho \cos\theta \sin \phi, \rho \sin\theta \sin\phi, \rho \cos\phi)$

Ahora tomando la derivada parcial con respecto a $\phi$ y $\theta$ y luego encontrando $|r_{\phi} \times r_{\theta}|$, obtendrás $\rho^2 \sin\phi$