Notación de cohomología de De Rham

Question

Según http://en.wikipedia.org/wiki/De_Rham_cohomology,

se define el grupo de cohomología de de Rham $k$-ésimo $H^{k}_{\mathrm{dR}}(M)$ como el conjunto de clases de equivalencia, es decir, el conjunto de formas cerradas en $\Omega^k(M)$ módulo las formas exactas.

Por otro lado, los grupos de cohomología de de Rham de una esfera $n$-dimensional $H_{dR}^q(S^n)$ son $\mathbb{R}$ si $q=0,n$ y 0 en caso contrario.

No estoy seguro de entender la relación entre $\mathbb{R}$ y los grupos de equivalencia. ¿Significa eso que para generar los grupos de cohomología de de Rham de $S^n$, uno puede tomar cualquier función constante $\omega$ (caso $q=0$) o una forma diferencial no nula de $n$ dimensiones $\omega$ (caso $q=n$), y que cada clase de equivalencia se puede generar a partir del producto de $\omega$ por un miembro particular de $\mathbb{R}$?

Answer 1

Para $q=0$ el isomorfismo entre $H^n_{dR}(M)$ y $\mathbb{R}$ es bastante canónico, pero para $q=n$ esto ya no es el caso. Considere por ejemplo una fibración no trivial con fibra $M; típicamente no hay una forma natural de identificar la cohomología de dimensión superior de cada fibra con$\mathbb{R}$, ya que el haz determinante generalmente no será trivial.