Tomando un par de enteros gaussianos $u,v$ que satisfacen
Existe $a,b \in \mathbb Z$
- $v^2 = av+bu$
- $u^2 = av+bu$
- $uv = av+bu$
(Diferentes $a,b$)
definir la relación de equivalencia $\sim$ por $z\sim w \iff \exists a,b \in \mathbb Z, z-w=au+bv$ Sea $\mathbb Z[i]/\sim$ los enteros gaussianos módulo $u,v$
Por ejemplo, si $u=2i,v=2$ obtenemos un anillo de cuatro elementos con $0,1,i,1+i$ con la tabla de multiplicación: $$\begin{matrix} \cdot && 0 && 1 && i && 1+i \\ 0 && 0 && 0 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 1 && i && 1+i\\ i&& 0 && i && 1 && 1+i \\ 1+i && 0 && 1+i && 1+i && 0\end{matrix}$$ ¿Estudian estos objetos?
¿Alguno de ustedes tiene una referencia a un artículo sobre ellos?
si no, tengo algunas preguntas:
- ¿hay una manera de usar $u,v$ para encontrar propiedades del anillo? por ejemplo, en el ejemplo había un elemento nilpotente, $1+i$, ¿cómo podría haberlo predicho usando $2,2i$?
- ¿Existen pares para los cuales este es un campo? si es así, ¿hay un criterio para estos?
- ¿Existe un criterio para cuando este es el anillo cero (trivial)?
- ¿Puede esto expresarse como una "multiplicación" de anillos cíclicos normales? Por ejemplo, el anillo que mencioné es isomorfo a $\mathbb Z_4$($0 \mapsto 0, 1 \mapsto 1, 2 \mapsto i+1, 3\mapsto i$), he estado intentando hacerlo con $2-2i,2+2i$ y no lo he logrado.
