¿Puedo calcular el volumen de un tronco de pirámide si todo lo que sé es el volumen de la pirámide, la altura de la pirámide y la altura del tronco de pirámide?
Respuesta
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Deja que la pirámide $P$ tenga un volumen $V_P$ y una altura $H$. Deja que el tronco de pirámide $F$ que es una parte cortada de esta pirámide tenga una altura $h$, entonces $0 \leq h \leq H$. Quieres saber el volumen del tronco de pirámide. Llámalo $V_F$.
Por cálculo, $V_P = (1/3)AH$, donde $A$ es el área de la base de la pirámide. La parte de la pirámide sobre el tronco de pirámide es una versión escalada de la pirámide original. Tiene una altura $H-h$, entonces la pirámide más pequeña es una versión reducida de la pirámide original por el factor $(H-h)/H = 1 - h/H$. En particular, la base de la pirámide más pequeña tiene un área $(1-h/H)^2A$, entonces el volumen de la pirámide más pequeña es $(1/3)(1-h/H)^2A(H-h)$. Por lo tanto $$ V_F = V_P - \frac{1}{3}\left(1 - \frac{h}{H}\right)^2A(H-h). $$ Reemplazando $A$ por $3V_P/H$, $$ V_F = V_P - \frac{1}{3}\left(1 - \frac{h}{H}\right)^2\frac{3V_P}{H}(H-h) = \left(1 - \left(1 - \frac{h}{H}\right)^3\right)V_P. $$ Así que ahí tienes tu fórmula de volumen de tronco de pirámide en términos de $V_P$, $H$, y $h$. Como revisión de realidad, cuando $h = H$ obtenemos $V_F = V_P$ (y el tronco de pirámide $F$ en este caso es la pirámide completa $P$) y cuando $h = 0$ obtenemos $0$ (y el tronco de pirámide $F$ en este caso es la base de la pirámide, por lo que es plana).
PD: Hasta hace menos de dos semanas, siempre pensé que el término en inglés era frustrum. Enterarme tan tarde en la vida de que en realidad es frustum fue bastante... frustrante.
