Volumen de un tronco de pirámide sabiendo el volumen y la altura de la pirámide y la altura del tronco de la pirámide

Question

¿Puedo calcular el volumen de un tronco de pirámide si todo lo que sé es el volumen de la pirámide, la altura de la pirámide y la altura del tronco de pirámide?

Answer 1

Deja que la pirámide $P$ tenga un volumen $V_P$ y una altura $H$. Deja que el tronco de pirámide $F$ que es una parte cortada de esta pirámide tenga una altura $h$, entonces $0 \leq h \leq H$. Quieres saber el volumen del tronco de pirámide. Llámalo $V_F$.

Por cálculo, $V_P = (1/3)AH$, donde $A$ es el área de la base de la pirámide. La parte de la pirámide sobre el tronco de pirámide es una versión escalada de la pirámide original. Tiene una altura $H-h$, entonces la pirámide más pequeña es una versión reducida de la pirámide original por el factor $(H-h)/H = 1 - h/H$. En particular, la base de la pirámide más pequeña tiene un área $(1-h/H)^2A$, entonces el volumen de la pirámide más pequeña es $(1/3)(1-h/H)^2A(H-h)$. Por lo tanto $$V_F = V_P - \frac{1}{3}\left(1 - \frac{h}{H}\right)^2A(H-h).$$ Reemplazando $A$ por $3V_P/H$, $$V_F = V_P - \frac{1}{3}\left(1 - \frac{h}{H}\right)^2\frac{3V_P}{H}(H-h) = \left(1 - \left(1 - \frac{h}{H}\right)^3\right)V_P.$$ Así que ahí tienes tu fórmula de volumen de tronco de pirámide en términos de $V_P$, $H$, y $h$. Como revisión de realidad, cuando $h = H$ obtenemos $V_F = V_P$ (y el tronco de pirámide $F$ en este caso es la pirámide completa $P$) y cuando $h = 0$ obtenemos $0$ (y el tronco de pirámide $F$ en este caso es la base de la pirámide, por lo que es plana).

PD: Hasta hace menos de dos semanas, siempre pensé que el término en inglés era frustrum. Enterarme tan tarde en la vida de que en realidad es frustum fue bastante... frustrante.