Cada cociente de un espacio reflexivo es reflexivo

Question

¿Cómo se demuestra lo siguiente?

Si $\mathcal{X}$ es reflexiva y $M \leq \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}/M$ es reflexiva

No se asume que $\mathcal{X}$ sea un espacio de Banach.

Answer 1

X es reflexivo implica que es un espacio de Banach, y como M está cerrado en X, también lo es X/M. Dado que los duales son siempre Banach, $X^*$ y $(X/M)^*$ son Banach, lo que significa que son un subespacio cerrado del dual de X. Ahora, el dual de X es reflexivo y por lo tanto sus subespacios cerrados también son reflexivos. De hecho, el cociente es reflexivo.

Answer 2

$\mathcal X$ es reflexivo, por lo que cada funcional en $\mathcal X^*$ es un mapa de evaluación. Ahora consideremos un funcional $g$ en $(\mathcal X/M)^*$. Se identifica $(\mathcal X/M)^*$ con los funcionales en $\mathcal X$ que se anulan en $M$. Ahora, extendemos $g$ a todo $\mathcal X^*$ declarándolo $0$ fuera de $(\mathcal X/M)^*$. Ahora obtenemos $x\in\mathcal X$ tal que $g$ es el mapa $f\mapsto f(x)$

Luego, restringimos $g$ solo a los funcionales que se anulan en $M$.

Esto da lugar a la realización de $g$ como un mapa de evaluación.

Dado que $g$ era arbitrario. Hemos terminado $\square$