Creo que es bastante claro que $A-B$ y $A$ tienen la misma cardinalidad, por lo tanto, debería existir una correspondencia uno a uno, pero ¿cómo construir una función así? Imagino que una función identidad ($f(x)=x$) debería estar involucrada si $x\in A-B$, pero ¿cómo manejar el caso $x\in B$?
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spaceisdarkgreen
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Digamos $|B|=n$ y etiquetemos $B = \{b_0,\ldots, b_{n-1}\}.$ Sea $C$ un subconjunto infinito numerable de $A-B$ y sean $C_0,\ldots, C_{n-1}$ una partición de $C$ en $n$ subconjuntos infinitos numerables. Enumérelos como $C_i = \{c_{i,j}:j\in \mathbb N\}.$ Luego define $f:A-B\to A$ como $f(x)=x$ para $x\notin C$, $f(c_{i,0}) = b_i,$ y $f(c_{i,j+1})= c_{i,j}.$
"Muy claro" es subjetivo. Esta prueba es no constructiva en el sentido de que tuvimos que usar un subconjunto infinito numerable del conjunto infinito $A-B$ sin una construcción explícita de dicho conjunto, y de hecho no hay forma de probar este teorema sin (una forma muy débil de) el axioma de elección.
Pas
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Dado que $A$ es infinito, puedes encontrar un conjunto numerable $A'\subset A$ y, sin pérdida de generalidad, puedes asumir que $B\subset A'$ (si no, toma $A'':=A'\cup B$).
Ahora define $f$ de la siguiente manera: $f(x)=x$ si $x\in A\setminus A'$.
Sea $m:=card(B)$. Supongamos que $A'=\{x_n:\, n\in\Bbb N\}$ tal que $\{x_1,\cdots,x_m\}=B$. Ahora define $f(x_n)=x_{n+m}$.
