Evaluar la doble integral de la región triangular

Question

Evaluar $$\int\int_D e^{y^2} dA$$ donde D es la región triangular con vértices (0,0), (0,1) y (2,1)

Mis intentos:

$$\int^{2}_0 \int^{1}_\frac{x}{2} e^{y^2} dy dx$$ o $$\int^{0}_1\int^{2y}_2 e^{y^2} dx dy$$

pero no pude evaluar la integral, así que creo que debo haber hecho algo mal al encontrar la región D.

Answer 1

La integral $$\int_0^2\int_{x/2}^1 e^{y^2} dy dx$$ es difícil de evaluar, por lo que necesitas llevar el $dx$ hacia adentro. Lo siguiente funciona: $$\int_0^1\int_0^{2y} e^{y^2} dx dy.$$ La evaluación es sencilla: $$\begin{align} \int_0^1\int_0^{2y} e^{y^2} dx dy &= \int_0^1 2y e^{y^2} dy \\ &= \left[e^{y^2}\right]_0^1 \\ &= e-1. \end{align}$$

Answer 2

Es una pregunta complicada. No existe una función elemental que sea igual a la integral de e a la potencia 'x al cuadrado'. Esa integral es muy común en libros de cálculo para mostrar este fenómeno. (No hablo inglés como lengua materna, fui a un colegio de habla hispana y no recuerdo el término en inglés)

Puedes obtener valores computados usando un enfoque numérico.

Puedes ver alguna discusión sobre esto en http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=103752