Probabilidad de que el evento no ocurra después exactamente $k$ veces.

Question

Creo que encontré la solución pero me gustaría una confirmación. La probabilidad de que ocurra un cierto evento $A$ es $0.375$. Una forma de calcular que el evento no ocurra es tomar el complemento de $A$. Así que: $$\bar{A} =1 - 0.375 = 0.625$$

Si quisiéramos encontrar la probabilidad de que un evento no suceda después de exactamente (palabra clave exactamente) $k$ veces, podemos multiplicar $\bar{A}$, $k$ veces y luego restar nuestro resultado de $1$.

Por ejemplo, vamos a encontrar la probabilidad de que el evento $A$ finalmente ocurra después de exactamente $8$ veces.

$$0.625^8 \implies 0.0232 \implies 1 - 0.0232 \implies 0.9768 \implies 97.68\% $$

¿Es correcta mi solución?

Answer 1

No exactamente.

La probabilidad de que el evento $A$ ocurra después de exactamente $8$ fallas es $.625^8(.375)$ (Tiene que fallar 8 veces seguidas y luego ser un éxito)

Hay un nombre para esto, llamado la distribución geométrica. Sea $X\sim \text{Geometric}(.375)$ el número de fallas hasta el éxito para $A$. Entonces $\Pr(X=x)=.675^x(.375), x=0,1,2,...$

Para elaborar un poco más, por la regla del complemento lo que encontraste a través de $1-.625^8$ es la probabilidad de que el evento $A$ ocurra al menos una vez en una serie de $8$ intentos.

Answer 2

Tienes un evento $A$ donde la probabilidad de que ocurra A es $p$. Como dices, la probabilidad del evento $\bar A$ es $1-p$. Repites independientemente pruebas de $A$ ocho veces, y quieres saber la probabilidad de que A falle 7 veces y luego tenga éxito la octava vez. Eso sería:

$$ (1-p)^7p $$ porque $\bar A$ necesita ocurrir 7 veces y luego $A$ necesita ocurrir. Ten en cuenta que esta es la misma probabilidad de ver $A$ al menos una vez en ocho pruebas.

$(1-0.375)^7(0.375) = 1.4\%$.