Derivación de $\lim_{n\rightarrow \infty} p^{-n}(x^{p^n}-1)$ en $\Bbb{Q}_p$

Question

Dada la definición de $\ln_p(x)$, es decir, el logaritmo p-ádico, expresado mediante series de potencias, se puede mostrar en $\Bbb{Q}_p$ que $\lim_{n\rightarrow \infty} p^{-n}(x^{p^n}-1)=\ln_p(x)$, pero el límite análogo en $\Bbb{R}$, es decir, $\lim_{n\rightarrow \infty} n(x^{1/n}-1)=\ln(x)$, se puede derivar como una suma de Riemann para $\int_1^x \frac{dt}{t}$ donde el intervalo de $1$ a $x$ se divide en subintervalos desiguales con puntos finales $1, x^{1/n},x^{2/n},...x^{n/n}$, cf. Burk La función Logaritmo y las Sumas de Riemann en The College Mathematics Journal, Vol 32 No. 5 Noviembre 2001 o también este post en StackExchange https://math.stackexchange.com/a/3002438/254075 para la misma idea de dividir el intervalo de integración usando una progresión geométrica.

Estaba buscando una derivación similar en $\Bbb{Q}_p$ pero no logro que las cosas funcionen. Procediendo de manera ingenua y sin ninguna motivación real, se puede considerar la progresión geométrica $1, x^{p^n},x^{2p^n},...,x^{p^n\cdot p^{n}}=x^{p^{2n}}$ y formar una especie de pseudo-Suma de Riemann

$$\begin{align} (x^{p^n}-1) \cdot \frac{1}{1} &=(x^{p^n}-1) \cdot \frac{1}{1} \\ (x^{2p^{n}}-x^{p^n}) \cdot \frac{1}{x^{p^n}} &=x^{p^n}(x^{p^n}-1) \cdot \frac{1}{x^{p^n}} \\ (x^{3p^{n}}-x^{2p^{n}}) \cdot \frac{1}{x^{2p^{n}}} &=x^{2p^n}(x^{p^n}-1) \cdot \frac{1}{x^{2p^n}}\\ & \vdots \end{align}$$ Sumando los términos se obtiene $p^{n}(x^{p^n}-1)$, ya que hay $p^{n}$ términos. Pero lo que se necesita es $p^{-n}(x^{p^n}-1)$, ¿y cuál sería la motivación para tal procedimiento de todos modos? ¿Alguien tiene pensamientos, ideas, pistas o referencias sobre una integral y una medida p-ádica que podrían utilizarse para derivar $\lim_{n\rightarrow \infty} p^{-n}(x^{p^n}-1)$ y así definir $\ln_p(x)$?

Answer 1

Podemos definir el logaritmo p-ádico a través de la integral de Volkenborn de esta manera, $$\ln_p(x) = \int_{\mathbb{Z}_p} x^{y+1}-x^y dy = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^n} \sum_{k=0}^{p^n-1} x^{k+1}-x^k = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{p^n}-1}{p^n}$$

Sentí que la pregunta quería un poco más que eso, así que considera el resto como contenido extra para jugar. Me pareció interesante intentar probar las reglas regulares del logaritmo que conocemos y amamos comenzando aquí como nuestra definición, por ejemplo, claramente podemos ver $\ln_p(1)=0$.

$$\ln_p(x) = (x-1)\int_{\mathbb{Z}_p} x^y dy$$

No pude obtener $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ sin embargo podemos obtener $\ln(x^n)=n \ln(x)$ cuando $|x-1|_p<1$ usando una propiedad de las integrales de Volkenborn:

$$\int_{\mathbb{Z}_p} f(z)dz = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\mathbb{Z}_p} f(i+nz)dz$$ Ahora tenemos,

$$\int_{\mathbb{Z}_p} x^zdz = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \int_{\mathbb{Z}_p} x^{i+nz}dz$$

$$\frac{\ln x}{x-1} = \frac{1}{n}\int_{\mathbb{Z}_p} (x^n)^zdz\sum_{i=0}^{n-1} x^i$$

$$\frac{\ln x}{x-1} = \frac{1}{n}\frac{\ln(x^n)}{x^n-1}\frac{x^n-1}{x-1}$$ $$\ln x = \frac{1}{n}\ln(x^n)$$

Además, mientras estamos aquí, dado que $\ln(1)=0$ y el conjunto de $x$ tales que $|x-1|_p<1$ contiene las raíces p-ésimas de la unidad en $\mathbb{C}_p$, esto implica que para $\zeta^{p^n}=1$:

$$\ln \zeta = \frac{1}{p^n} \ln(\zeta^{p^n}) = \frac{1}{p^n}\ln(1) = 0$$

Supongo que tal vez sea posible, a través de un poco más de maniobras integrales cuidadosas, obtener la regla más general $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ o tal vez podemos decir que para cualquier $a,b$ podemos encontrar alguna secuencia de la forma $\ln(x^{m_i} x^{n_i}) = \ln(x^{m_i})+\ln(x^{n_i})$ con $x^{m_i} \to a$ y $x^{n_i} \to b$. Estas son solo algunas ideas posibles, ¡no me cites si no dan resultado!

Puedes encontrar más discusión sobre la integral de Volkenborn en muchos libros como los de Koblitz, Robert o Schikhof.