No entiendo la definición de la relación de equivalencia que se define en las curvas que crean un espacio vectorial tangente.
Sea $X$ cualquier variedad, un punto $x \in X$, dos curvas $\alpha:(-a,a) \to X, \beta:(-b,b) \to X$. Entonces $\alpha$ es equivalente a $\beta$ en $x$ si $\alpha(0)=x, \beta(0)=x$ y para una carta $\phi:X \to \mathbb{R}^n$ a algún espacio euclídeo $(\phi \circ \alpha)'(0)=(\phi \circ \beta)'(0)$.
El primer punto que no entiendo es por qué necesitamos una carta en absoluto, es una biyección así que debería ser verdad $(\phi \circ \alpha)'(0)=(\phi \circ \beta)'(0)$ si $(\alpha)'(0)=(\beta)'(0)$.
En segundo lugar, imagina curvas $\alpha(t)=(t,t), \beta(t)=(2t,2t)$ al espacio euclídeo con su carta identidad. Tales curvas tienen en cada punto la misma dirección, sin embargo sus derivadas son diferentes, por lo tanto tales curvas no serían equivalentes en $t=0$ según esa definición.
Por lo tanto, el espacio tangente $T_xX$ consiste en clases de equivalencia de curvas en $x$ que no solo tienen la misma dirección, sino que también tienen la misma magnitud en sus derivadas (vectores). ¿Es eso correcto?
