¿Es 'no solution' lo mismo que 'undefined'?

Question

Hoy en clase mi maestro escribió algo así:

$6^x = 0$

Y procedió a escuchar una respuesta de la clase. Algunas personas gritaron indefinido. Entonces el maestro escribe:

sin solución $\therefore$ indefinido

Ahora mi pregunta: ¿indefinido es lo mismo que sin solución? De lo que entiendo sobre 'indefinido' no necesariamente significa que la ecuación o expresión no tiene 'ninguna solución', sino que puede haber infinitas soluciones. Por ejemplo, toma $\frac{0}{0}$

Ahora, si tenemos una línea en el plano cartesiano, digamos, $y=x$ entonces para cada punto en esa línea $\frac{y}{x} = 1$. Pero $(0;0)$ está en la línea, por lo tanto $\frac{0}{0} = 1$

Pero ahora, si repetimos eso para la línea $y = -x$ y seguimos el mismo argumento, obtenemos $\frac{0}{0} = -1$ y así podemos continuar este argumento para cualquier línea que pase por el origen con infinitas pendientes y por lo tanto infinitas líneas, y por lo tanto no podemos 'definir' $\frac{0}{0}$ con un solo número.

O al menos eso es lo que pensaba cuando se escribió la pregunta.

¡Gracias!

Answer 1

Para responder directamente a tu pregunta: La ecuación $6^x = 0$ no tiene solución para $x$, y por lo tanto $\log_6 0$ es indefinido.

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Para expandir en la distinción entre "sin solución" vs. "indefinido", tanto "sin solución" como "infinitas soluciones" (y en general cualquier cosa que no sea "exactamente una solución") significan que la expresión que representa la ecuación es indefinida. Por ejemplo, tu ejemplo de $\frac{0}{0}$ se puede representar como "la solución de $0x = 0$", que es cualquier número real o complejo (o en general cualquier número en el campo en el que estés trabajando, independientemente de cuál sea ese campo); por lo tanto $\frac{0}{0}$ es indefinido.

No siempre es el caso, sin embargo, que un valor indefinido siempre permanezca así. Toma el caso de las raíces cuadradas. La ecuación $x^2 = 4$ tiene dos raíces, $2$ y $-2$, por lo que técnicamente $\sqrt{4}$ es "indefinido". Pero porque es útil para nuestros propósitos, definimos la raíz cuadrada de un número como su raíz cuadrada positiva, y las cosas funcionan.

De hecho, la ecuación $x^2 + 1 = 0$ no tiene ninguna solución en los números reales, por lo que $\sqrt{-1}$ también es "indefinido". Pero luego definimos $i$, la unidad imaginaria, solo para cubrir este caso, y nuevamente, las cosas funcionaron. Por supuesto, al hacerlo perdimos la propiedad de orden (¿Es $1$ o $i$ mayor? No hay respuesta).

En general, cuando intentas inventar números para satisfacer ciertas propiedades, pierdes algunas propiedades que el sistema anterior tenía. Por ejemplo, extender los números naturales a los enteros para satisfacer la cerradura de la sustracción significa que pierdes la buena ordenación. Extender los enteros a los números racionales para satisfacer la división significa que pierdes la existencia de números primos, el algoritmo de división, y en general la posibilidad de que los números no sean divisibles entre sí. Extender los números racionales a los números reales para satisfacer la propiedad del supremo inferior significa que pierdes la representabilidad finita (y tal vez alguna otra propiedad que desconozco), ya que algunos números irracionales realmente requieren una sucesión de Cauchy infinita y arbitrariamente generada para definirlos.

En el caso de tu ejemplo de $\frac{0}{0}$, podríamos simplemente definir $\frac{0}{0}$ como $1$. Sin embargo, al hacer esto, como viste, perdemos muchas de las propiedades que nos dan los números reales, como la consistencia de la multiplicación. Si hacemos esto, entonces $1 = \frac{0}{0} = \frac{2 \times 0}{0} = 2 \times \frac{0}{0} = 2 \times 1 = 2$, lo que significa que las cosas no funcionan. En otras palabras, al definir $\frac{0}{0}$, perdemos demasiado otras cosas para que sea útil. Entonces simplemente dejamos $\frac{0}{0}$ indefinido y lo desautorizamos en la mayoría de los usos. (Hay algunos casos en, por ejemplo, cálculo, donde la forma $\frac{0}{0}$ realmente es útil, pero siempre es en el contexto de límites y qué valor toma una expresión mientras se aproxima a $\frac{0}{0}$.)

En resumen, la razón por la que algunas cosas son indefinidas es simplemente porque definirlas causa problemas.

Para leer más sobre el tema de definiciones y números indefinidos, intenta buscar el debate sobre si $0^0 = 1$, o incluso la historia de los números racionales e irracionales. Incluso ha habido disputas sobre si los números negativos existen, y a veces eso hace que la lectura sea divertida.

Answer 2

Creo que la distinción es de un uso adecuado (en inglés).

Una ecuación puede no tener solución(es). No se dice que una ecuación sea indefinida. Ser indefinida no es una propiedad que una ecuación pueda tener.

Por ejemplo, la ecuación $x^2 = -1$ no tiene soluciones (reales). No está "indefinida" (la ecuación).

Una expresión puede ser indefinida. No se dice que una expresión no tenga solución.

Por ejemplo, $\lim_{x \to \infty} \sin x$ es indefinido. No se dice que este límite no tenga "soluciones" (ni deberías escribir, como a veces veo, ``$\lim_{x \to \infty} \sin x = \emptyset$'').

Answer 3

Este problema no tiene solución. La palabra "indefinido" está siendo mal utilizada.

Answer 4

La solución de una ecuación es un conjunto. Ese conjunto puede ser vacío, o puede consistir en una única solución única, en un número limitado de soluciones, o en un número infinito de soluciones.

Un conjunto vacío no está indefinido en ningún sentido. La solución de una ecuación que no tiene soluciones está perfectamente definida: es el objeto conjunto vacío: $\emptyset$.

Si una ecuación está formada usando este patrón:

$$f(x) = C$$

y si esa ecuación no tiene soluciones, entonces significa que la relación inversa $f^{-1}(C)$ está indefinida en $C$. Este es un tema diferente. (Nota que la relación inversa no es necesariamente una función.)

Que la ecuación no tenga soluciones significa que no existe ningún valor de $x$ tal que $f(x)$ sea igual a $C$. Podemos decir que $C$ está fuera del rango de la función $f$. Y dado que $C$ está fuera del rango de $f$, significa que $C$ está fuera del dominio de la relación inversa $f^{-1}$. Una relación solo está definida para valores dentro de su dominio, según la definición de lo que significa estar definido.

Answer 5

Por una cuestión de variedad....

La práctica real de las matemáticas tiende a usar de forma implícita una semántica más flexible de la que se describe explícitamente. Una interpretación es que la semántica no se basa en funciones sino en funciones parciales.

Por ejemplo, si alguna vez has pensado realmente en preguntas como

¿Cuál es el dominio de la función $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$?

verías que son preguntas muy pobres si se toman literalmente, cuando se interpretan de la forma habitual. Hay dos problemas:

• El dominio de $f$ es, por definición, el conjunto de valores que la variable $x$ recorre. Así que no hay nada que probar.
• $1-x^2$ no es una expresión conocida por estar limitada al dominio de $\sqrt{}$, así que la ecuación es absurda de todas formas.

Sin embargo, cuando se interpreta en términos de funciones parciales, la pregunta tiene sentido y es significativa. La función $f$ definida de esta manera asigna un valor a cada $x$ tal que $1-x^2$ esté en el dominio de $\sqrt{}$, y no asigna un valor a ningún otro $x.

Esto es un caso especial de composición de relaciones.

Para resolver la ambigüedad, al considerar una función parcial $f:X \to Y$, llamaré "fuente" y "objetivo" a $X$ e $Y$ respectivamente. El "dominio" de $f$ se define como el subconjunto de $X$ de los valores a los que $f$ asigna un valor

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Así que si $x$ es una variable real, entonces la función $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ tiene como fuente $\mathbb {R}$ (el conjunto de números reales), objetivo $\mathbb{R}$ y dominio $[-1,1]$.

Sea $I$ un conjunto con un elemento. Recuerda que la noción de "elemento de un conjunto $S$" es equivalente a la noción de "función $I \to S$". Manteniéndose en el espíritu de que la notación debería ser más orientada a funciones parciales que a funciones, esto significa que debería haber una idea de "elemento parcial".

El conjunto de todas las funciones parciales de $I \to S$ consta de todas las funciones ordinarias y una nueva función parcial: la que cuyo dominio es vacío.

Volviendo a la noción de elemento, no es descabellado llamar al elemento parcial de $S$ correspondiente a la función parcial con dominio vacío "el elemento indefinido de $S$".

Y esto concuerda con el uso convencional. Recuerda que si $a$ es un elemento parcial de $S$, $i$ es la función parcial correspondiente, y $f$ es una función parcial $S \to T$, entonces $f(a)$ es el elemento de $T$ correspondiente a la composición $f \circ i$.

Entonces, continuando con nuestro ejemplo de $f(x) = \sqrt{1-x^2}$, si seguimos la regla anterior para sustituir el valor $2$, llegamos a que $f(2)$ es el número real indefinido.

Una inconveniencia de esta notación es que existe una ambigüedad sobre lo que significa "$=$". Específicamente, aunque $f(2)$ sea el número real indefinido, sería razonable insistir en que $f(2) = indefinido$ no es una afirmación verdadera; en cambio, es el valor de verdad indefinido. No he pensado lo suficiente en los detalles de esta notación para haber decidido cómo tratar "$=$".

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Otra característica que surge en la práctica son los elementos generalizados, por ejemplo, en forma de variables indeterminadas y expresiones involucrándolas.

Si defino la variable $x$ como la solución real general a la ecuación $6^x = 0$, esta definición tiene sentido en términos de elementos generalizados; es más o menos equivalente al "número real indefinido" descrito anteriormente. Y, interpretado en el contexto de elementos generalizados, tiene sentido decir $x \in \emptyset$.