Conjetura: una función es un homomorfismo de grupo si y solo si es un subgrupo del producto directo.

Question

Conjetura. Sea $G$ y $H$ grupos, y sea $f : G \rightarrow H$ una función. Entonces $f$ es un homomorfismo precisamente cuando el grafo de $f$ es un subgrupo del producto directo $G \times H.

Motivación. Se ha demostrado en otro lugar que si reemplazamos las instancias de la palabra "grupos" con la palabra "espacios vectoriales", y si reemplazamos "homomorfismo" con "mapa lineal", y "subgrupo" con "subespacio lineal" entonces la conjetura es cierta. (Sin embargo, esa prueba no está en inglés).

¿Es este un resultado conocido? ¿Alguien puede pensar en un contraejemplo?

Answer 1

Sí, esto es bien conocido. Si $f$ es un homomorfismo, entonces el gráfico $G_f$ es un subgrupo: de $(x,f(x)) \in G_f$ y $(y,f(y)) \in G_f$ obtenemos $(xy,f(x)f(y))=(xy,f(xy))\in G_f$. Un razonamiento análogo se puede hacer para la inversa. Por el contrario, si $G_f$ es un subgrupo, entonces $(x,f(x)) \in G_f$ y $(y,f(y)) \in G_f$ multiplicados dan $(xy,f(x)f(y))\in G_f$, lo que significa que $f(x)f(y)=f(xy)$.

Ver la publicación de Terence Tao para otros ejemplos.