Dado $f(0)>0, f(1)<0$, a continuación, probar $\exists x_0$ st $f(x_0)=0$

Question

Deje $f$ ser una función de la satisfacción de $f(0)>0, f(1)<0$ , demuestran que, a $\exists x_0$ st $f(x_0)=0$ bajo el supuesto de que existe una función continua $g(x)$ tal que $f+g$ es no decreciente.

Me di cuenta de que si $0\le x\le1$ $$g(0)<g(0)+f(0)\le g(x)+f(x)\le g(1)+f(1)< g(1)$$ so that $g$ assumes all values $g(x)+f(x)$ for $x\in(0,1)$ uso intermedio valor de la propiedad.¿Cómo he de proceder?

Answer 1

Sugerencia: Deje $x_0=\inf\{x: f(x)\lt0\}$. Considerar las posibilidades de $f(x_0)\lt0$ $f(x_0)\gt0$ por separado, y que sostienen una contradicción para cada uno.