Derivative of Norm Squared of the Riemann Tensor

Question

Actualmente estoy leyendo algunas notas de conferencia sobre el flujo de Ricci y no estoy seguro de cómo se deriva la siguiente identidad:

$\frac{\partial}{\partial t} \bigg( g^{ij}g^{kl}g^{ab}g^{cd}R_{ikac}R_{jlbd} \bigg) = 2\bigg(R^{ij}g^{kl}g^{ab}g^{cd} + g^{ij}R^{kl}g^{ab}g^{cd}+g^{ij}g^{kl}R^{ab}g^{cd} +g^{ij}g^{kl}g^{ab}R^{cd}\bigg)R_{ikac}R_{jlbd} \:+\:2 $

Sé que existen identidades para la derivada temporal del tensor de Riemann en general, pero no entiendo cómo el autor ha llegado desde la derivada temporal hasta el lado derecho, ¿podría alguien explicarlo?

Answer 1

Aplica la regla del producto repetidamente y utiliza el hecho de que $\frac{\partial}{\partial t}g^{ij}=2R^{ij}$. El término final surge del hecho de que la métrica es una forma simétrica.