Nombre de una desigualdad de tipo isoperimétrico

Question

Quisiera saber si el siguiente hecho tiene un nombre estándar y/o referencia

Sea $X$ un subconjunto de $\mathbb R^2$ y $B$ un disco de la misma área que $X$. Sea $X_\epsilon$ el vecindario $\epsilon$ de $X$. Entonces $$area\\,X_\epsilon\ge area\\,B_\epsilon.$$

Answer 1

Esta desigualdad es esencialmente equivalente a la desigualdad isoperimétrica clásica. Si tienes un cuerpo medible $X$ en $\mathbb{R}^n$ y una bola $B\subset \mathbb R^n$ del mismo volumen entonces tienes lo siguiente: $$\text{Área}(X)=\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\operatorname{Vol}(X_{\epsilon})-\operatorname{Vol}(X)}{\epsilon}$$ $$\text{Área}(B)=\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\operatorname{Vol}(B_{\epsilon})-\operatorname{Vol}(B)}{\epsilon}$$ Demostrar que $\text{Área}(X)\geq \text{Área}(B)$ sigue de $\operatorname{Vol}(X_{\epsilon})\geq \operatorname{Vol}(B_{\epsilon})$, que es tu desigualdad. ($n=2$) Ahora esto se sigue de la desigualdad de Brunn Minkowski porque $$\operatorname{Vol}(X_{\epsilon})=\left(\operatorname{Vol}(X+\epsilon B)^{1/n}\right)^n \geq \left(\operatorname{Vol}(X)^{1/n}+\epsilon \operatorname{Vol}(B)^{1/n}\right)^n=\operatorname{Vol}(B_{\epsilon})$$