¿Podemos encontrar un isomorfismo entre $R$ y $eR$, donde $R$ es un anillo von Neumann regular y $e$ es un idempotente de $R?

Question

En el ensayo que estoy leyendo, tenemos un ideal finitamente generado, por lo que está generado por un elemento idempotente $ e \in R $ (ya que los ideales finitamente generados son generados por un elemento idempotente en un anillo regular de von Neumann)

Luego se escribe que ''podemos reemplazar $ eR $ por $ R $''. No puedo entender cómo ni por qué. Estoy de la opinión de que debería haber un isomorfismo entre $ R $ y $ eR $, pero aún no lo veo. ($ R $ no es un dominio)

¿Alguien podría ayudarme?

Answer 1

No, no siempre.

Observa $R=F_2\times F_2$ donde $F_2$ es el cuerpo de dos elementos.

$R$ es von Neumann regular y claramente no es isomorfo a $(1,0)R\cong F_2$.

Pero por otro lado, si $S=\prod_{i\in \mathbb N} F_2$, existe un idempotente no trivial $e$ tal que $eS\cong S$ (y existen otros idempotentes que no cumplen eso.)