¿Si $g=(f\cdot a+g\cdot b) G-J\cdot g\mod m^{i+1}[x]$ es $g$ un múltiplo de $G$?

Question

Sea $R$ un anillo local con ideal maximal $m$. Si tenemos polinomios

• $f,g\in m^i[x]$
• $a,b, G\in R[x]$
• $J\in m[x]$

tales que

$$g=(f\cdot a+g\cdot b) G-J\cdot g\bmod m^{i+1}[x].$$

¿Es correcto entonces que $g$ sea un múltiplo de $G$ en $m^{i+1}[x]$? Sé que podemos escribir

$$(1+J)g=(f\cdot a+g\cdot b)G\bmod m^{i+1}[x]$$

pero ¿por qué esto necesariamente significa que $g$ sea un múltiplo de $G$ y no al revés?

Answer 1

Nota que $J \cdot g \in m^{i+1}[x]$, por lo tanto $g = (f \cdot a + g \cdot b)G \bmod m^{i+1}[x]$.