Un mapeo conforme en una región delimitada por contornos convexos (Ahlfors)

Question

Quiero resolver el siguiente ejercicio (del texto de Ahlfors, página 261)

 

*3. Usando el Ejercicio 2, muestra que $p + q$ mapea $\Omega$ de manera biunívoca en una región limitada por contornos convexos. Comentarios:

(i) Se dice que una curva cerrada es convexa si interseca cada línea recta a lo sumo dos veces.

(ii) Para demostrar que la imagen de $C_k$ bajo $p+q$ es convexa, solo necesitamos mostrar que para cada $\alpha$ la función $\Re (p + q)e^{i \alpha}$ no toma más de dos veces el valor en $C_k$. Pero $\Re (p + q)e^{i\alpha}$ difiere de $\Re (q \cos \alpha +ip \sin \alpha)$ solo por una constante, y la conclusión deseada sigue de las propiedades de la función de mapeo en el Ejercicio 2.

(iii) Finalmente, el principio del argumento se puede utilizar para mostrar que las imágenes de los contornos $C_k$ tienen número de vueltas $0$ con respecto a todos los valores de $p+q$. Esto implica, en particular, que las curvas convexas se encuentran fuera unas de otras.

Como referencia, el ejercicio 2 fue

 

${}$2. Muestra que la función $e^{-i \alpha}(q \cos \alpha +ip \sin \alpha)$ mapea $\Omega$ en una región limitada por ranuras inclinadas.

Aquí, $\Omega$ es una región de conectividad finita, limitada por curvas analíticas $C_1,C_2, \dots,C_n$.

$p: \Omega \to \hat{\mathbb C}$ es una función compleja meromorfa, determinada por

• Su único polo es simple en $z_0$, con residuo 1.
• Su parte real es constante en cada uno de los contornos $C_k$.

$q: \Omega \to \hat{\mathbb C}$ está determinada de manera similar excepto que su parte imaginaria es constante en los contornos.

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He logrado resolver el Ejercicio 2 completamente, y con respecto al Ejercicio 3 estoy atascado en el paso (iii).

Dado que los contornos $C_k \subset \partial \Omega$ se mapean en contornos convexos, ¿cómo puedo probar que todas sus imágenes tienen número de vueltas cero con respecto a todos los valores de $p+q$?

Supongo que el siguiente paso es observar que para cualquier $w_0$ tomado por $p+q$ tenemos $$\frac{1}{2 \pi i} \sum_{k=1}^N \oint_{C_k} \frac{p'(z)+q'(z)}{p(z)+q(z)-w_0} \mathrm{d} z=N-P=\text{Ind} \left[(p+q)(\sum_{k=1}^N C_k),w_0 \right]$$

Donde $N,P$ son el número de ceros, polos (respectivamente) del denominador de la integrante en $\Omega$. Sin embargo, no puedo ver cómo avanzar a partir de aquí.

¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

¡Gracias!

EDITAR:

Dado que mi objetivo es determinar el número de vueltas usando el principio del argumento, creo que debería intentar evaluar $N-P$:

Bueno, $P=1$ ya que $p+q-w_0$ tiene un único polo simple en $z_0 \in \Omega$. Y si $w_0$ es tomado por $p+q$ entonces $N \geq 1$. Todavía no puedo ver por qué $N$ no puede ser estrictamente mayor que $1$ - e incluso si no lo es, este es solo el número de vueltas de la imagen de toda la frontera, y no de sus componentes individuales como se pide.

Answer 1

Sea $\gamma_k$ la imagen de $C_k$ bajo $p+q$.

Dado que $\gamma_k$ es convexa, solo hay tres tipos de puntos en el plano $w$.

• En la curva: $w$ está en $\gamma_k$.
• Externo: Podemos trazar una línea recta que conecte $w$ e infinito sin intersectar $\gamma_k$. Obviamente, el número de vueltas de $\gamma_k$ con respecto a un punto externo es 0.
• Interno: No podemos trazar una línea recta que conecte $w$ e infinito sin intersectar $\gamma_k$.

Ahora asumamos que $w$ es un valor de $p+q$, es decir, $p(z) + q(z) = w$ para cierto $z \in \Omega$.

$w$ no puede ser interno, porque esto estaría en contradicción con el hecho de que $\Omega$ es conexo y $z_0 \in \Omega$ se mapea a infinito.

Si $w$ es externo, hemos terminado.

Si $w$ está en la curva, o está en un corte, o tiene puntos internos en sus vecindades.

En el primer caso, podemos hacer el mismo argumento bajo (17) en la Página 260 en Ahlfors de que la parte principal de la siguiente integral debe ser cero.

$$\int_{C_k} \frac{p'(z) + q'(z)}{p(z)+q(z)-w} dz$$

El segundo caso es imposible debido al siguiente corolario (Ahlfors, Página 132).

Corolario 1. Una función analítica no constante mapea conjuntos abiertos en conjuntos abiertos.