Las matrices similares comparten pocas propiedades, Me preguntaba, ¿hay una manera suficiente para asegurarse de que dos matrices son similares? ¿Es el proceso de encontrar el polinomio mínimo el camino?
Respuestas
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En los números complejos o en un campo algebraicamente cerrado (sobre un campo general, se puede aplicar lo anterior sobre un cierre algebraico):
Las matrices $A,B$ son similares si y solo si los polinomios característicos son iguales y para $P$ el polinomio característico $$\operatorname{rank} Q(A) =\operatorname{rank} Q(B) $$ para cada polinomio $Q$ dividiendo a $P$.
Se puede reemplazar "característico" por "mínimo".
De alguna manera, esta es una versión 'obfuscada' del criterio que Omnomnomnom dio.
Christian
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18
Desafortunadamente, incluso dos matrices con el mismo polinomio característico y el mismo polinomio mínimo no necesariamente son similares. Considere:
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
Los polinomios característicos son $(x-1)^4$, los polinomios mínimos son $(x-1)^2$.
Dos matrices serán similares si y solo si ambas son similares a la misma matriz en Forma Canónica de Jordan (hasta la reordenación de los bloques de Jordan).
Jukka Dahlbom
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Una bonita caracterización sobre $\Bbb C$ es la siguiente: las matrices $A$ y $B$ son similares si y solo si para todo $k = 1,2,3,\dots$ y todo $\lambda \in \Bbb C$, $$ \DeclareMathOperator{\rk}{rango} \rk((A-\lambda I)^{k-1}) - \rk((A-\lambda I)^{k}) = \rk((B-\lambda I)^{k-1}) - \rk((B-\lambda I)^{k}) $$ Para un $\lambda$ y $k$ dados, el número $\rk((A-\lambda I)^k) - \rk((A-\lambda I)^{k-1})$ puede ser caracterizado en términos de la forma de Jordan como "el número de bloques de Jordan asociados con $\lambda$ que tienen tamaño al menos $k$". Nótese que definimos $A^0 = B^0 = I$.
