¿Cómo puedo garantizar el único positivo de la raíz de este polinomio?

Question

¿Cómo puedo garantizar el único positivo de la raíz de este polinomio?

Tengo dos polinomios, $$ x^{n+1} + x^n - 1 =0 $$ y $$ x^{n+1} - x^n - 1 =0 $$ respectivamente, donde $n\in\mathbb{N}$. He intentado para los casos de$n=1$$100$. Para todos los cálculos, he encontrado único positivo de la raíz para cada polinomio con la ayuda de MATHEMATICA, pero no podía demostrarlo matemáticamente. Cómo puedo probar estos polynımials tienen un único positivo de la raíz ?

Answer 1

Descartes signo de la regla asegura que ambos polinomios tienen exactamente $1$ positivo de la raíz por cada $n$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $f(x)=x^{n+1}+ x^n -1.$ tenga en cuenta que $f(0)=-1.$ Ahora, desde $\lim_{x\to \infty} f(x)=+\infty$ existe $a>0$ tal que $f(a)>0.$ Desde $f$ es continua en a $[0,a]$ se deduce a partir del teorema de Bolzano que hay una raíz en $(0,a).$ Un argumento similar se trabaja con $f(x)=x^{n+1}- x^n -1.$

Ahora, si $f(x)=x^{n+1}+ x^n -1$ $f'(x)=(n+1)x^n+nx^{n-1}>0$ $(0,\infty).$ $f$ es estrictamente creciente, desde donde se tiene más de una raíz. Ya que tiene uno, tiene exactamente uno.

Ahora, si $f(x)=x^{n+1}- x^n -1$ $f(x)<0$ $(0,1).$ $f'(x)=(n+1)x^n-nx^{n-1}>0$ $(1,\infty).$ $f$ es estrictamente creciente en a $(1,\infty),$ desde donde se tiene más de una raíz. Ya que tiene uno, tiene exactamente uno.

Answer 3

Los derivados de este polinomio es

$$(n + 1) x^n + n x^{n - 1} = x^{n - 1} \big((n + 1) x + n\big)$$

Este tiene ceros en$x = 0$$x = -\frac{n}{n + 1} < 0$; en particular, es positivo para $x > 0$. Por lo tanto el polinomio original es estrictamente creciente desde el punto de $(0, -1)$, y tiene un único positivo de la raíz.

Answer 4

De $x^n = \frac{1}{( x \pm 1 )}$

explorar la intercepción de dos funciones:
$x^n$ (siempre positiva de crecimiento para $x>0$ ) lo $n>0$
y $\frac{1}{x+1}$ (siempre la disminución de$1$$0$$x>0$)
o $\frac{1}{x-1}$ (siempre la disminución de$\infty$$0$$x>1$)

la intercepción pertenece siempre y necesariamente al primer cuadrante

( explorar los gráficos en wolframalpha.com variando el $n$ )
solucionar $x^n = \frac{1}{( x + 1 )}$ $n=2$
solucionar $x^n = \frac{1}{( x - 1 )}$ $n=2$