Energía del cuarto. Ley del gas ideal

Question

He estado siguiendo los "Conceptos de Física Térmica" de Blundel y llegué a la derivación de la ley de los gases ideales. Y todo tenía sentido, hicimos un par de suposiciones y aproximaciones, pero luego llegué a un ejercicio que no tiene mucho sentido para mí:

"Si una habitación está inicialmente a 18ºC y luego se calienta a 25ºC, ¿qué sucede con la energía total del aire en la habitación?"

Esa parece ser una pregunta directa y un intento de solución es: $$\langle E\rangle =uV=\frac{1}{2}Nm\langle v^2 \rangle$$ como $\langle v^2 \rangle=3\frac{k_B T}{m}$ obtenemos: $$\langle E\rangle =\frac {3}{2}NK_BT$$ donde $u$ es la densidad de energía, $V$ es el volumen de la habitación, y $\langle E\rangle$ es la energía cinética media del gas en la habitación. Después de esto simplemente podríamos comparar para ambas temperaturas.

Pero al hacer esto solo estamos considerando la energía cinética. A lo largo de la derivación ignoramos todo tipo de movimiento de una partícula y consideramos solo la energía translacional, pero aun así una partícula tiene 2 formas de tener energía: cinética y potencial. Obviamente no ignoramos la masa de una partícula, de lo contrario no tendría energía cinética tampoco. ¡Entonces las partículas todavía tienen masa, por lo tanto deben tener energía potencial! Entiendo que en la comparación de la energía en ambas temperaturas, al mantenerse la habitación quieta, la energía potencial se cancela, pero luego decir que la energía media de la habitación a una temperatura $T$ es $\langle E\rangle =\frac {3}{2}NK_BT$ ¡es incompleto!

¿Cómo describo la energía total de una habitación a temperatura $T$?

Answer 1

Veamos las relaciones entre la energía cinética promedio (para una partícula) y el cambio en la energía potencial entre la parte inferior y superior de nuestro recipiente. $$\frac{K}{\Delta U}=\frac{\frac 32 k_BT}{mgh}$$

El aire está compuesto por muchos tipos de partículas, pero el nitrógeno es el más común, así que trabajemos con eso. La masa de una molécula de $\rm N_2$ es $4.65\times10^{-26}\ \rm{kg}$, y digamos que la altura de la habitación es cerca de $3\ \rm m$. Entonces para $T=295 \ \rm K$ (aproximadamente a la mitad de tu rango de temperatura) tenemos $$\frac{\frac 32 k_BT}{mgh}\approx 4.5\times 10^3$$

Así que la energía cinética es mucho más grande que la diferencia de potencial entre la parte superior e inferior de la habitación, por eso tendemos a ignorarla. Sin embargo, debes considerar la energía potencial al analizar alturas más grandes, como cuando se analiza la atmósfera, por ejemplo.

Answer 2

Aquí es donde entramos en algunas de las complejidades de cómo definimos realmente la energía 'total'. En lo que respecta a la gravedad, la física solo depende de los cambios en la energía potencial, no de su valor absoluto; ¡podemos agregar una constante a la energía potencial y obtener las mismas predicciones! Entonces, la 'energía potencial total' no es una cantidad completamente definida.

En lo que respecta a la teoría de los gases ideales, tratamos las partículas de gas como bolas rígidas e ignoramos cualquier interacción entre las moléculas. Entonces, en esta aproximación, ignoramos cualquier fuerza electromagnética entre las partículas. (Si quisiéramos agregarlas, llegaríamos a algo como el modelo de van der Waals que seguramente se mencionará más adelante en el libro que estás leyendo, o uno de muchos otros)!

Pero ¿qué pasa con la energía potencial gravitatoria? Esto se define hasta una constante, pero aún puede haber diferencias en la energía potencial gravitatoria entre las dos situaciones, porque la distribución de la densidad del aire cambia.

¿Cuánto?

Dado que estamos asumiendo una temperatura uniforme, y asumiendo un campo gravitatorio uniforme, podemos calcular la distribución de densidad en equilibrio hidrostático. En el equilibrio hidrostático, la presión y la densidad son funciones de la altura, pero aún consideramos que están relacionados por la ley de los gases ideales $mP(z)=\rho(z) k_BT$. Tenemos $$\frac{dP}{dz}=-\rho(z)g=-\frac{mg}{k_BT}P(z)$$ con la solución $$\rho(z)=\rho_0\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)$$ Establecemos la densidad del aire al nivel del suelo, $\rho_0$ requiriendo que la masa total de partículas en el gas sea constante: $$\int_\text{room} \rho(z) dV = M$$ Si suponemos que la habitación tiene un área de piso $A$ y una altura $h$, esto se convierte en $$M=A\int_0^h \rho(z) dz = \frac{A\rho_0 k_B T}{mg}\left(1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)\right)$$ Podemos reorganizar esto para encontrar $\rho_0$ como una función de la temperatura: $$\rho_0=\frac{Mmg}{Ak_B T \left(1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)\right)}$$

Una vez que encontramos la densidad como una función de la altura, podemos calcular la energía potencial del gas.

La densidad de energía potencial gravitatoria de un trozo de gas a una altura $z$ sobre el nivel de referencia de energía potencial cero es simplemente $u(z)=\rho(z) g z$. Así que la energía potencial total de la habitación entera es $$U=\int_\text{room} u(z)\,dV=\int_\text{room} \rho(z) g z\thinspace dV=\int_\text{room}gz\rho_0\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)dV$$ y con nuestro área $A$ y altura $h$, esto se convierte en $$U=Ag\rho_0\int_0^h z\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)\,dz$$

Para calcular esto, podemos usar un resultado estándar de integral: $$\int_0^h z \exp \left(-\frac{z}{C}\right)=C^2\left(1-\left(1+\frac{h}{C}\right)\exp\left(-\frac{h}{C}\right)\right)$$ que podemos usar con $C=\frac{k_B T}{mg}$ para encontrar (respiración profunda)... $$U=\frac{A \rho_0 k_B T}{m}\cdot\frac{k_B T}{mg}\left(1-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)\exp\left(-\frac{mgh}{k_B T}\right)\right)$$

Podemos combinar esto con nuestro resultado anterior para $\rho_0$: $$U=\frac{Mk_B T}{m}\cdot\frac{1-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)\exp\left(-\frac{mgh}{k_B T}\right)}{1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)}$$

Reorganizando esto ligeramente para limpiarlo, obtenemos $$\begin{align*}U&=\frac{Mk_B T}{m}\cdot\frac{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\\&=\frac{Mk_B T}{m}\left(1-\frac{mgh}{k_BT}\frac{1}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\right)\\&=\frac{Mk_B T}{m}-\frac{Mgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\\&=Nk_B T - \frac{Nmgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-1}\end{align*}$$ donde en la última línea hemos usado que la masa total es $M=Nm$.

Entonces, en respuesta a tu pregunta, la energía total del gas ideal en una habitación de temperatura uniforme de área $A$ y altura $z$ en equilibrio hidrostático sería (asumiendo que no he cometido un error en la derivación anterior)...

$$E=\frac{5}{2}Nk_B T - \frac{Nmgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-1}$$

más una constante.