Sea $G$ un grupo de Lie semisimple, es decir, $G$ es conexo y el álgebra de Lie de $G$ es semisimple. Sabemos por la descomposición de Iwasawa, que existen subgrupos conexos $K$, $A$ y $N$ de $G$ tales que el mapa de multiplicación de $K\times A\times N$ a $G$ es un difeomorfismo suave. Es bien sabido que $A$ y $N$ son simplemente conexos y que el álgebra de Lie de $A$ es abeliana. Dado que el álgebra de Lie de $A$ es abeliana y que $A$ es conexo y simplemente conexo, claramente $A$ es isomorfo a $\mathbb R^n.$ Esto significa que $G$ contiene una copia de $\mathbb R^n.$ Además, $\{1\}\times A\times\{1\}=A$ es un subgrupo cerrado de $G.$ Esto muestra que cualquier grupo de Lie semisimple es no compacto si $A\neq \{1\}$ !! Soy nuevo en esto. ¿Es correcta mi afirmación? ¿Cuál puede ser la condición necesaria y suficiente para la compacidad de un grupo de Lie semisimple en esta dirección de pensamiento?
Respuesta
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Como dices, $K$ es compacto justo cuando $G$ tiene centro finito. Podemos ver esto en el caso del grupo de cobertura universal del grupo de isometría del plano hiperbólico. Los solubles conectados y simplemente conexos son difeomorfos al espacio euclidiano. Así que para cualquier grupo de Lie semisimple $G=KAN$, vemos que $A=1$ y $N=1$ y $K$ tiene centro finito justo cuando $G$ es compacto, en cuyo caso $G=K$.
