Desigualdad en ecuación diferencial

Question

Dado $$\frac{dx}{dt}\leq k_1-k_2x$$

¿cómo podemos demostrar que $$x\leq \frac{k_1}{k_2}$$

Editado: sean $k_1$ y $k_2$ números reales no nulos. La condición inicial se da como no negativa.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} \frac{d\left(e^{k_2 t} x \right)}{dt} &= k_2e^{k_2 t}x + e^{k_2 t}\frac{dx}{dt}\\ &\le k_1 e^{k_2 t}. \end{align*} Entonces, \begin{align*} e^{k_2 t} x(t) &\le x(0) + \frac{k_1}{k_2}\left(e^{k_2 t} -1 \right). \end{align*} Es decir, \begin{align*} x(t) &\le e^{-k_2 t}x(0)+ \frac{k_1}{k_2}\left(1-e^{-k_2 t}\right)\\ &= \left(x(0) - \frac{k_1}{k_2}\right) e^{-k_2 t} + \frac{k_1}{k_2}\\ &\le \frac{k_1}{k_2}, \end{align*> si $x(0) \le \frac{k_1}{k_2}$.