¿Podemos manejar la función de onda como si fuera una función de valor real?

Question

Estoy tratando de analizar en general problemas cuánticos unidimensionales simples. Para ser más específicos, consideremos este tipo de hamiltoniano: $$H=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\hat{x})$$ A partir de este, podemos derivar lo siguiente: $$\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2}=\frac{2m}{\hbar ^2}(V(x)-E)\psi(x) \ \ \ \ \ \ (1)$$ Donde por supuesto $\psi(x):\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ es la función de onda.

Ahora, por ejemplo, consideremos el caso de un pozo potencial simétrico, y también consideremos el caso en el que $V(x)>E$. En este caso, mis apuntes de clase afirman que podemos ver a partir de (1) que $\psi ''$ tiene el mismo signo que $\psi$. Ahora aquí tengo un problema: esta afirmación sería cierta para una función de valor real $\psi(x):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, pero la función de onda asume valores complejos, ¿por qué estamos autorizados a tratar la función de onda como una función de valor real?

Este no es el único ejemplo de esta forma de manejar la función de onda, a menudo en mis apuntes de clase la función de onda se representa en un gráfico $2D$ como si fuera una función de valor real y no compleja. ¿Por qué podemos hacer esto? Si queremos hablar de funciones reales en este contexto, ¿no deberíamos considerar la densidad de probabilidad $|\psi(x)|^2$ en lugar de la amplitud de probabilidad $\psi(x)$?

Answer 1

Tal vez estoy pensando de manera demasiado simple, pero para $V(x)>E$ la ecuación tiene la forma $\psi'' = a \cdot \psi$, donde $a>0$. Para estos casos $\psi$ solo puede tener la forma $\psi = A\cdot e^{\sqrt{a} x} + B \cdot e^{-\sqrt{a}x}$, que es completamente real. Tal vez se podría argumentar que $A$ y $B$ pueden ser complejos, pero esto no sucederá si se usa la condición $\int \mathrm{d}^{3} r|\psi|^{2}=1$ y $\int \mathrm{d}^{3} r|\psi|^{2}<\infty$.

Así que creo que la idea aquí va en sentido contrario a como lo has expresado: No estamos autorizados a tratar la función de onda como una función de valor real, pero podemos ver a partir de la ecuación diferencial que solo se permiten funciones con valores reales.

El hecho de que una partícula cuántica pueda tener una probabilidad espacial finita incluso en una región como esa lleva a fenómenos muy característicos (por ejemplo, el efecto túnel). Si examinas este ejemplo en detalle, descubrirás que para $V(x)$ general, la función de onda decae exponencialmente (ver también Nolting, Mecánica Cuántica 6, Capítulo 4).