El lema de Borel-Cantelli dice que si la suma de las $m(E_i)$ es finita, entonces
$$m({\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n})=m(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}^{\infty }E_{k})}=0$$
De manera intuitiva, el lema de Borel-Cantelli te dice que la probabilidad de que ocurra algún evento negativo (como algunos elementos negativos interfieren en lo que queremos probar infinitas veces) es insignificante. En términos de teoría de medidas, la medida de los elementos negativos donde nuestra prueba no funciona es $0$ y para "casi todos" los elementos, nuestra prueba funciona.
Toma $$E_n= \{x\in [0,1] : \bigg|\frac{f_n(x)}{nk_n}\bigg| \geq \frac{1}{n}\}$$
Luego $\sum_i m(E_i) = 1 < \infty$. Por lo tanto, se aplica el lema de Borel-Cantelli.
Ahora, se concluye que $m(\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}^{\infty }E_{k})=0$ lo cual implica que el conjunto de elementos $x$ tales que $\bigg|\frac{f_n(x)}{nk_n}\bigg| \geq \frac{1}{n}$ para un número infinito de $n$ es insignificante y puede ignorarse. Por lo tanto, para casi todos los $x$, vemos que $\bigg|\frac{f_n(x)}{nk_n}\bigg| < \frac{1}{n}$ excluyendo un número finito de $n$. Dado que el número de $n$ que no cumplen con la desigualdad anterior es finito, puedes estar seguro de que después de cierto $n$, llamémoslo $N_0$, la desigualdad se cumple casi en todas partes.
Dado cualquier $\epsilon > 0$, elige $n_0$ tal que $\frac{1}{n_0} < \epsilon$. Ahora establece $M=\max\{n_0,N_0\}$. Luego se concluye que
$$\forall \epsilon>0, \exists M \in \mathbb{N}: n \geq M \implies |\frac{f_n(x)}{nk_n}| < \frac{1}{n} < \epsilon$$
lo que significa que $\lim_{n\to\infty}\frac{f_n(x)}{nk_n}=0$ casi en todas partes.
Entonces, solo necesitas tomar $c_n=nk_n$ como dijiste.
Editar: Para entender lo que te dice el lema de Borel-Cantelli, piensa en qué tipo de elementos están en $\limsup _{n\to \infty }E_{n}$. Esto debería ayudarte mucho.
$$x \in \limsup _{n\to \infty }E_{n} = \bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}^{\infty }E_{k} \iff \forall n, \exists k_* \geq n: x \in E_{k_*}$$
Imagina que $n$ es el tiempo y que estamos revisando los $E_n$ uno tras otro. Esta afirmación nos dice que sin importar cuánto tiempo pase, siempre podemos encontrar algún $E_{k_*}$ en el futuro que contiene a $x$. Por lo tanto, incluso si esperamos para siempre, todavía habrá un conjunto que contiene a $x$. Así que, $x$ está ocurriendo infinitas veces. La negación de este conjunto son aquellos elementos que ocurren solo un número finito de veces. Espero que esto ayude.
