Porcentaje de primos entre los números naturales

Question

¿Cuál es el porcentaje de primos en $\mathbb{N}$ ?

( $\mathbb{N} := \lbrace { 1, 2, 3, \ldots \rbrace }$ un primo sólo es divisible por sí mismo y por 1 en $\mathbb{N}$ )

El porcentaje tiene que ser inferior al 50%, ya que todos los números pares (excepto el 2) no son primos. Por lo tanto, el porcentaje tiene que ser inferior a $1 - (\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{6})) = 1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) = 1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3}) = \frac{1}{3}$

Supongo que será algo así:

$$\frac{\text{primes in } \mathbb{N}}{\text{numbers in } \mathbb{N}} = 1 - \sum_{i=\text{first Prime}}^\text{primes} \frac{1}{\prod_{j=\text{first prime}}^{i\text{-th prime}} j}$$

Pero calcular este valor (exacto) va definitivamente más allá de mis habilidades matemáticas. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

La gente está citando el Teorema de los Números Primeros aquí, pero eso es una exageración bastante seria. Incluso el teorema de Chebyshev está un nivel por encima, en mi opinión.

En mi curso de teoría de números de pregrado, demuestro que los números primos tienen densidad cero en los enteros positivos (incluyendo una cuidadosa declaración de lo que esto significa). La prueba se da como Teorema 6 en estas notas ( La máquina del retroceso ). De hecho, se basa en la observación de la OP de que la densidad debe ser como máximo $\frac{1}{2}$ porque la mitad de los números son divisibles por $2$ . Del mismo modo, la densidad debe ser como máximo $\frac{1}{3}$ porque todo número primo $p > 5$ es relativamente primo de $6$ y $\frac{\varphi(6)}{6} = \frac{1}{3}$ . Se puede obtener una prueba completa mostrando que para cada $\epsilon > 0$ existe un número entero positivo $d$ tal que $\frac{\varphi(d)}{d} < \epsilon$ . Esto se demostró antes en el curso: es la Proposición 6 en este conjunto de notas ( La máquina del retroceso ). La prueba no utiliza ningún hecho analítico más profundo que la divergencia de la serie armónica.

Answer 2

Denotaré el conjunto de todos los primos por $\mathbb P$ .

No está exactamente claro qué se puede entender bajo porcentaje de primas pero una posible interpretación es el límite $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\pi(n)}n = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{|\{p\in\mathbb P; p\le n\}|}n$$ de la relación entre los primos y todos los números del intervalo $[1,n]$ . Este es precisamente el densidad asintótica del conjunto $\mathbb P$ y utilizando Teorema de los números primos se puede demostrar que es igual a cero.

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La densidad asintótica del conjunto $A$ se define como $$d(A)=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{|\{a\in A; a\le n\}|}n.$$ Una posible forma de mostrar $d(\mathbb P)=0$ sin utilizar PNT es utilizar el resultado del documento Ivan Niven. La densidad asintótica de las secuencias . Bull. Amer. Math. Soc., 57(6):420-434, 1951.

Corolario 1. Si para un conjunto de primos $\{p_i\}$ tenemos $d(A_{p_i})=0$ por cada $i$ y si $\sum p_i^{-1}=\infty$ entonces $d(A)=0$ .

Aquí, para cualquier $A\subseteq\mathbb N$ y un primer $p$ el conjunto $A_p$ se define como $$A_p=\{n\in A; p\mid n, p^2\nmid n\}.$$

Aplicando el resultado anterior con $A=\mathbb P$ y $\{p_i\}=\mathbb P$ da $d(\mathbb P)=0$ .

Estamos utilizando el hecho de que $\sum_{p\in\mathbb P} \frac1p=\infty$ . Una prueba muy buena de este hecho fue dada por Erdos, ver Pruebas de El Libro por Martin Aigner, Günter M. Ziegler p.5 .

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Otra breve prueba de $d(\mathbb P)=0$ se da en este documento:

S. E. Mamangakis. Notas más cortas: Observación sobre $\pi(x) = o(x)$ . Proc. Amer. Math. Soc., 13(4):664--665, 1962

Answer 3

Según el Teorema de los números primos $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n/\log(n)}=1\tag{1} $$ donde $\pi(n)$ es el número de primos menores o iguales a $n$ . Por lo tanto, hay un $N$ para que si $n\ge N$ , $$ \frac{\pi(n)}{n}\le\frac{2}{\log(n)}\tag{2} $$ Dado que hay infinitos primos e infinitos enteros positivos, no hay manera de dividir el número de primos entre el número de enteros positivos para obtener una proporción. El siguiente mejor intento de proporción sería el límite de la proporción en $[1,n]$ : $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n}\tag{3} $$ Desigualdad $(2)$ dice que el límite en $(3)$ es $0$ .

Adenda:

Pete Clark menciona que el teorema de los números primos es excesivo para esta pregunta, y estoy de acuerdo. A la luz de esto, consideremos primero la densidad de enteros positivos no divisibles por un primo particular $p$ . Definir $$ F_p=\{n\in\mathbb{Z}^+:p\nmid n\}\tag{4} $$ Está bastante claro que $$ \lim_{n\to\infty}\frac{|F_p\cap[1,n]|}{n}=1-\frac{1}{p}\tag{5} $$ Divisibilidad por un primo $p$ y un primer $q$ son independientes; es decir, $p\mid n$ y $q\mid n$ si y sólo si $pq\mid n$ . Así, la densidad de $F_p\cap F_q$ es $$ \lim_{n\to\infty}\frac{|F_p\cap F_q\cap[1,n]|}{n}=\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\right)\tag{6} $$ Continuando así, obtenemos que la densidad de enteros positivos no divisibles por ninguno en un conjunto de los primos $\{p_i\}_{i=1}^k$ sería $$ \lim_{n\to\infty}\frac{|\bigcap_{i=1}^kF_{p_i}\cap[1,n]|}{n}=\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\tag{7} $$ Por lo tanto, la densidad de los primos que no están en $\{p_i\}_{i=1}^k$ no es mayor que $\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$ . Dado que la densidad de primos en $\{p_i\}_{i=1}^k$ es $0$ la densidad de todos los primos no es mayor que $\prod_{i=1}^k\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$ .

Si enumeramos todos los primos como $\{p_i\}_{i=1}^\infty$ utilizando el Teorema Fundamental de la Aritmética, obtenemos que $$ \begin{align} \frac{1}{\prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i^\alpha}\right)} &=\prod_{i=1}^\infty\left(1+\frac{1}{p_i^\alpha}+\frac{1}{p_i^{2\alpha}}+\cdots\right)\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^\alpha}\tag{8} \end{align} $$ Como menciona Pete, ya que la serie armónica diverge, como $\alpha\to1^+$ , $(8)$ implica que $$ \prod_{i=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p_i}\right)=0\tag{9} $$ Por lo tanto, la densidad de primos es $0$ .

Answer 4

Casi todos de los números naturales son compuestos; es decir, el porcentaje de primos en $\mathbb{N}$ es $0$ .

Sabemos que el número de primos menores o iguales a un número natural $x$ es asintótica a $x/\log(x)$ es decir, tiene el mismo comportamiento para grandes $x$ . Como esto crece estrictamente más lento que $x$ vemos que la proporción de primos va a $0$ .

A partir de esta fórmula, también podemos encontrar que la proporción de primos en los números naturales menores que $x$ es $1/\log(x)$ .

Answer 5

Si bien la densidad de los números primos como porcentaje de todos los números naturales es cero, esto no es más que un corolario de algunas de las teorías de Kantor sobre los diferentes niveles de infinito: hay infinitamente más números naturales que números primos, por lo que como $N\to\infty$ densidad $\to 0$ .

Lo que me pareció más interesante fue cómo la densidad de una $N$ disminuye a medida que $N$ aumenta y permanece acotado:

$25\%$ de los números de $1$ a través de $100$ inclusive son primordiales

$21\%$ de los números de $101$ a través de $200$ inclusive son primordiales

$14\%$ de los números de $901$ a través de $1,000$ inclusive son primordiales

$9\%$ de los números de $9,001$ a través de $10,000$ inclusive son primordiales

etc.