¿Cómo matar suavemente un cardinal $\Sigma_{n+1}$-correcto (n>1)?

Question

Un cardinal $\kappa$ es $\Sigma_n$-correcto si $V_\kappa \prec_n V$. Para n>1, ¿cómo forzar a un cardinal $\Sigma_{n+1}$-correcto a ser $\Sigma_{n}$-correcto pero no $\Sigma_{n+1}$-correcto?

Para $n=1$, podemos forzar GCH debajo de $\kappa$ y luego violar GCH en $\kappa$.

Si asumimos algunos grandes cardinales, hay más respuestas parciales, pero la situación general no me está clara.

Answer 1

¡Esta es una pregunta muy interesante!

Mi estudiante Erin Carmody (PhD 2015) había hecho esta pregunta en relación con su disertación, Fuerza para cambiar la fuerza del gran cardinal, que contiene muchos resultados de matar suavemente. Su teorema 20 es el caso de cardinal que refleja $\Sigma_2$ que mencionas. Recuerdo que en ese momento investigamos el caso general de reflejar $\Sigma_n$, pero quedó pendiente en su disertación.

Qué bueno finalmente tener una respuesta a esto.

Teorema. Si $\kappa$ es $\Sigma_n$-correcto, entonces hay una extensión de clase por fuerza que lo preserva en la cual $\kappa$ no es $\Sigma_{n+1}$-correcto.

Prueba. Supongamos que $\kappa$ es $\Sigma_n$ correcto, donde $n>1$. Por fuerza, si es necesario, permíteme asumir que V=HOD y más específicamente que hay una $\Delta_2$-definible bien-ordenación del universo. De hecho, vamos a organizar esto específicamente por fuerza para codificar cada conjunto en el patrón GCH en una cierta secuencia definible de puntos de codificación. Esta fuerza preserva la corrección.

Consideremos la noción de fuerza $\text{Add}(\kappa,1)$, que es definible en $V_\kappa$, y consideremos los conjuntos densos para esta fuerza que son $\Sigma_n$-definibles en $V_\kappa$. Afirmo que hay un subconjunto $s\subset\kappa$ que es $\Sigma_n$-definible en $V_\kappa$ y genérico sobre $V_\kappa$ con respecto a clases densas $\Sigma_n$-definibles de esta fuerza, lo que significa que los segmentos iniciales de $s$ cumplen con cada subconjunto denso $\Sigma_n$-definible de esta fuerza.

Si $\kappa$ es inaccesible, entonces esto es más fácil de ver, ya que en este caso la fuerza es $<\kappa$-cerrada y simplemente se pueden cumplir los conjuntos densos uno por uno, usando una enumeración definible de ellos. Una versión cuidadosa de este argumento funciona incluso cuando $\kappa$ es singular, usando el hecho de que $\kappa$ es $\Sigma_n$-correcto. Simplemente se cumplen los conjuntos densos uno por uno, y en los límites, los condiciones producidas deben estar acotadas por debajo de $\kappa$, ya que de lo contrario se tendría una singularización $\Sigma_n$-definible de $\kappa$, lo cual violaría la corrección.

Ahora forcemos con $\text{Add}(\newcommand\Ord{\text{Ord}}\Ord,1)$ para añadir una clase genérica $S\subset\Ord$ extendiendo $s$. (También podríamos haber usado una clase genérica $\Sigma_{n+1}$-definible, sin forzar). En $V[S]$, permitamos que $\mathbb{P}$ sea la fuerza de clase iteración Easton con soporte $\Ord$ que fuerza a codificar $S$ en el patrón GCH en otra secuencia definible de ordinales que no interfieren con la codificación utilizada arriba.

Permitamos que $V[S][G]$ sea la extensión final. Afirmo que $\kappa$ sigue siendo $\Sigma_n$-correcta, ya que si una $\Sigma_n$-afirmación $\varphi(a)$ es cierta en $V[S][G]$ sobre un parámetro $a\in V_\kappa[s][G_\kappa]$, entonces esto es forzado en $V[S][G]$ por alguna condición, y por la corrección de $\kappa$ y la $\Sigma_n$-genéricidad de $s$, se sigue que se cumple en $V_\kappa[s][G_\kappa]$ como se deseaba. Básicamente, estamos llevando la relación $V_\kappa\prec_{\Sigma_n} V$ a $V[s][G_\kappa]\prec_{\Sigma_n}V[S][G]$.

Pero afirmo que $\kappa$ no es $\Sigma_{n+1}$-correcta en $V[S][G]$. Notemos que $V$ es $\Sigma_2$-definible en $V[S][G]$ usando la primera secuencia de puntos de codificación, y $V[S][G]$ piensa que $S$, que es $\Sigma_2$-definible, no es $\Sigma_n$-definible en $V$, ya que de hecho era genérico sobre $V$. Pero $V_\kappa[s][G_\kappa]$ piensa que $s$ es $\Sigma_n$-definible en $V_\kappa$. Esto viola la $\Sigma_{n+1}$-corrección. $\Box$