La comparación con $\dfrac{1}{i^2}$ muestra que la serie $$\sum_{i=k}^\infty\frac{\sin\left(x/i\right)}{i}$$ es convergente. Sin embargo, la función de $x$ así obtenida parece estar acotada, con la cota aproximándose a cero en $k$. No tengo idea de cómo probar esto, cada método que conozco me da una cota no mejor que la obvia $\dfrac{\pi^2x}{6}$. Mi sospecha es que antes de llegar a $\left|\dfrac{x}{i}\right|<1$, los valores de $\dfrac{x}{i}$ módulo $2\pi$ tienen una distribución asintótica que ayuda de manera similar a otras identidades con signos alternantes acotados por $\dfrac{1}{i}$.
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Es incontable, aunque para probarlo necesito el hecho de que la suma de los recíprocos de los números primos $p=4k+1$ es infinita, lo cual parece ser una herramienta un poco pesada para este problema.
La primera observación es que para cada $M,q,\varphi$, tenemos $$ \left|\frac 1M\sum_{m=0}^{M-1}\sin(2\pi mq+\varphi) \right|\le\min(1,\tfrac1{M\|q\|}) $$ donde $\|q\|$ es la distancia de $q$ al entero más cercano (simplemente escriba $\sin\theta=\Im e^{i\theta}$ y sume la progresión geométrica correspondiente).
La segunda observación es que para $0\le x\le B$, tenemos $$ \left|\sum_{k\ge B}\frac{\sin(x/k)}{k}\right|\le\sum_{k\ge B}\frac B{k^2}\le 2\,. $$
Ahora enumere los números primos $p=4k+1$ como $p_1,p_2,\dots$ y ponga $A=\prod_{j=1}^N p_j$. Considere $x_m=(4m+1)A\frac\pi 2$, $m=0,\dots,M-1$.
Denote la suma de la serie por $S(x)$. Queremos analizar el promedio $ \frac 1M\sum_{m=0}^{M-1} S(x_m) $. En primer lugar, podemos truncar la serie en la definición de $S(x_m)$ a los primeros $B=2\pi AM$ términos (el resto está uniformemente acotado).
Ahora si $k\not\mid A$, entonces por nuestra primera observación el promedio del término correspondiente en la serie está en valor absoluto a lo sumo $\frac 1k\frac 1{M\|\frac Ak\|}$. Sin embargo, $\|\frac Ak\|\ge \frac 1k$ para $k\le 2A$ y es igual a $\frac Ak$ para $k>2A$. Por lo tanto, la suma de estos promedios es a lo sumo $$ \sum_{k\le 2A}\frac 1M+\sum_{2A\le k\le B}\frac 1{AM}\le \frac{2A}M+\frac{2\pi AM}{AM}\le 2(1+\pi)\,, $$ siempre que $M>A$, por ejemplo.
Entonces nos quedan los términos para los cuales $k\mid A$. Sin embargo, en este caso $A/k\equiv 1\mod 4$, entonces $\sin(x_m/k)=1$ para todo $m$ y todos estos términos empujan en la misma dirección (positiva), lo que hace que la suma correspondiente sea al menos $$ \sum_{k\mid A}\frac 1k\ge\sum_{j=1}^N \frac 1{p_j}\,, $$ lo cual puede hacerse arbitrariamente grande.
mathworker21
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Aquí hay una descripción de la solución de Fedja con pruebas de lemas y maquinaria requerida incluida.
Lema $1$: $\sum_{p \equiv 1 \text{ mod 4}} 1/p = +\infty$.
Prueba: Para $\chi$ el carácter de Dirichlet mod $4$ ($\chi(n) = 0$ si $2 \mid n$ y $\chi(n) = (-1)^{(n-1)/2}$ de lo contrario), tenemos $$\log(\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}) = \log(\prod_p \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}) = \sum_p \sum_{m \ge 1} \frac{\chi(p)^m}{p^{ms}} = \sum_p \frac{\chi(p)}{p^s}+O(1)$$ para $s$ real cerca de $1$. Dado que $\sum_p 1/p = +\infty$, si $\sum_{p \equiv 1 \text{ mod 4}} 1/p < +\infty$, entonces el RHS se acerca a $-\infty$ mientras que el LHS se acerca a $\log(1-1/3+1/5-1/7+\dots)$, una contradicción ya que $1-1/3,1/5-1/7,\dots > 0$. $\square$
Lema $2$: Para cualquier $\theta,\phi \in \mathbb{R}$ y cualquier $M \ge 1$, tenemos $\sum_{m=0}^{M-1} \sin(2\pi m \theta+\phi) \le 1/\|\theta\|_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}$.
Prueba: Deseamos probar $Im[e^{i\phi}\sum_{m=0}^{M-1} e^{2\pi i m \theta}] \le 1/\|\theta\|_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}$, por lo que basta con mostrar $|\sum_{m=0}^{M-1} e^{2\pi i m\theta}| \le 1/\|\theta\|_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}$. La magnitud de la suma geométrica es $|\frac{e^{2\pi i M\theta}-1}{e^{2\pi i \theta}-1}| \le \frac{2}{|e^{2\pi i \theta}-1|}$. Basta con restringir la atención a $\theta \in [-1/2,1/2]$, y aquí $|e^{2\pi i \theta}-1| \ge 2|\theta|$ completa el trabajo. $\square$
Ahora pasamos al problema. Sea $f(x) = \sum_{k=1}^\infty \sin(x/k)/k$.
Clame: Hay $x$ arbitrariamente grandes con $f(x) = \Omega(\log\log\log x)$.
Prueba: Tome $N \ge 1$. Sea $A = \prod_{j=1}^N p_j$, donde $p_1,p_2,\dots$ son los primos congruentes a $1$ mod $4$. Sea $M \ge 1$ un parámetro (simplemente tome $M=A$) y $B = \lceil 2\pi M A\rceil$. Sea $x_m = 2\pi m A+A\frac{\pi}{2}$ para $0 \le m \le M-1$. Mostramos que $\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} f(x_m) = \Omega(\log\log N)$, lo cual completará la prueba por el principio del palomar y que cada $x_m \le 10A^2 \le \exp(30N)$. Comenzamos con $$\left|\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} \sum_{k > B} \frac{\sin(x_m/k)}{k}\right| \le \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} x_m\frac{2}{B} \le 4.$$ Luego, usando el Lema $2$, hacemos $$\left|\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} \sum_{\substack{k \le B \\ k \not \mid A}} \frac{\sin(x_m/k)}{k}\right| = \left|\sum_{\substack{k \le B \\ k \not \mid A}} \frac{1}{k}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} \sin(2\pi\frac{A}{k}m+\frac{A\pi}{2k})\right| \le \sum_{\substack{k \le B \\ k \not \mid A}} \frac{1}{k}\frac{1}{M}\frac{1}{\|A/k\|_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}}},$$ lo cual podemos acotar trivialmente por $$\sum_{k \le 2A} \frac{1}{k}\frac{1}{M}\frac{1}{1/k} + \sum_{2A < k \le B} \frac{1}{k}\frac{1}{M}\frac{1}{A/k} = \frac{2A}{M}+\frac{B}{AM} \le 10.$$ Por lo tanto, usando que $A/k \equiv 1 \text{ mod 4}$ si $k \mid A$, vemos $$\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} f(x_m) \ge \frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1} \sum_{k \mid A} \frac{\sin(x_m/k)}{k} - 14 = \sum_{k \mid A} \frac{1}{k}-14 = \Omega(\log\log N),$$ donde usamos una forma cuantitativa del Lema $1$ (que en realidad también se sigue de la prueba dada). $\square$
Preguntas Restantes:
Clame: Para cualquier $x > 0$ grande, tenemos $f(x) = O(\log x)$.
Prueba: $|\sum_{k \le x} \sin(x/k)/k| \le \sum_{k \le x} 1/k = O(\log x)$ y $|\sum_{k > x} \sin(x/k)/k| \le x\sum_{k > x} 1/k^2 \le 2$. $\square$
Pregunta $1$: ¿Cuál es el mejor límite inferior alcanzado para $x$ arbitrariamente grande? ¿Tenemos $f(x) = \Omega(\log \log x)$ para $x$ arbitrariamente grande? ¿Qué tal $\Omega(\log x)$?
Encuentro interesante la siguiente pregunta.
Pregunta $2$: Definiendo $g(R) := \sup_{x > 0} \sum_{k=1}^R \sin(x/k)$ ¿cuál es $\limsup_{R \to \infty} g(R)/R$? Es al menos $\approx .578188$ (el máximo de $\sin(x)-x\text{Ci}(x)$).
Finalmente, la prueba de Fedja no resuelve la siguiente pregunta.
Pregunta $3$: ¿Está $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(x/k)}{k\log k}$ acotado como una función de $x$?
