Resolver utilizando la regla de L'Hôpital

Question

Resuelve usando la regla de L'Hôpital $\lim_{x\to 1} (1-x)^{\cos[(\Pi/2) x)]}$

Así (...)

$$L=\lim_{x\to 1} (1-x)^{\cos[(\Pi/2) x)]} \rightarrow0^0$$ $$\ln L = \lim_{x\to 1} \ln (1-x)^{\cos[(\Pi/2) x)]}$$ $$\ln L = \lim_{x\to 1}\cos[(\Pi/2)] \ln(1-x)$$ $$\ln L=\lim_{x\to 1} \cfrac{\ln(1-x)}{\cfrac{1}{\cos[(\Pi/2)x]}}={\infty\over\infty} \rightarrow \text{Usando la regla de L'Hôpital}$$ $$\ln L=\lim_{x\to 1} { \cfrac{ \left({-1\over{1-x}}\right) } { \cfrac {-[{\Pi\over2}\cos x.-\sin x({\Pi\over2}x)] } {[\cos x({\Pi\over2}x)]^2} } } = \cfrac{\infty}{\infty} \rightarrow \text{Usando la regla de L'Hôpital}$$ $$\ln L=\lim_{x\to 1} { \cfrac { 1 } { \cfrac { -[{\Pi\over2}(-\sin x)(-\sin x({\Pi\over2}x))-({\Pi\over2}(- \cos({\Pi\over2}x)))] } { [\cos({\Pi\over2}x)]^4 } } } $$

$$\ln L=\lim_{x\to 1} { \cfrac { [\cos({\Pi/2}x)]^4 } { -[{\Pi\over2}(-\sin x)(- \sin({\Pi\over2}x))-({\Pi\over2}(- \cos({\Pi\over2}x)))] } } = 0$$

$$\ln L = 0 \rightarrow e^{\ln L} = e^0\rightarrow L = 1$$

Tengo un examen en dos días, y necesito saber: ¿está bien hecho esto? Si no, ¿podría alguien señalarme el error?

Answer 1

Una idea:

$$\lim_{x\to 1}\frac{\log(1-x)}{\frac1{\cos\frac\pi2x}}\stackrel{\text{l'H}}=\lim_{x\to 1}\frac{-\cos^2\frac\pi2x}{(1-x)\frac\pi2\sin\frac\pi2x}\stackrel{\text{l'H}}=$$

$$=\lim_{x\to 1}\frac{\frac\pi2\sin\pi x}{-\frac\pi2\sin\frac\pi2x+(1-x)\frac{\pi^2}4\cos\frac\pi2x}=\frac0{-\frac\pi2+0}=0$$

Answer 2

¡Si sigues diferenciando $1/(1-x)$ se volverá más y más singular! ¡No hagas eso! En su lugar, podrías mover el $1-x$ al denominador, por ejemplo. Además, pareces tener dos términos de $x$ en las funciones trigonométricas, lo cual está mal.

Alternativamente, deja que $u=1-x$, y usa las relaciones de $\cos$ y $\sin$ para obtener algo de la forma $\lim _{u\to 0} k u\ln u + \cdots$ que es cero.