Un problema de prueba de Bernoulli

Question

En experimentos de Bernoulli con parámetro $p$, sea $N_n$ el número de experimentos requeridos para producir ya sea $n$ éxitos o $n$ fracasos, lo que ocurra primero. Me gustaría calcular la distribución de probabilidad de $N_n$.

Mi solución es:

Supongamos que $S_n$ es el número de experimentos requeridos para producir $n$ éxitos. Entonces $$ P(S_n=k) = {{k-1}\choose{n-1}} (1-p)^{k-n}p^n.$$

Supongamos que $F_n$ es el número de experimentos requeridos para producir $n$ fracasos. Entonces $$ P(F_n=k) = {{k-1}\choose{n-1}} p^{k-n}(1-p)^n.$$

$N_n = \min\{S_n, F_n\}.$ Pero dudo que sea correcto y incluso si lo es, no estoy seguro de cómo proceder. ¿Puedo obtener algunas ideas? ¡Gracias!

Answer 1

Pista: $N_n$ puede tomar valores desde $n$ hasta $2n-1$. Para cualquier $k$ fijo en el rango de $n$ a $2n-1$, el evento $\{N_n = k\}$ ocurre si el $k$-ésimo ensayo es un éxito y los $k-1$ ensayos anteriores tuvieron $n-1$ éxitos y $k-n \leq n-1$ fallos, O si el $k$-ésimo ensayo es un fallo y los $k-1$ ensayos anteriores tuvieron $n-1$ fallos y $k-n \leq n-1$ éxitos. ¿Puedes encontrar la probabilidad para cada uno de los dos casos? Es probable que tengas un $\binom{k-1}{n-1}$ en algun lugar....

Answer 2

Distribución binomial negativa ($NeBi(n,p)$) es la distribución del número de fracasos en una secuencia de ensayos hasta que ocurran $n$ éxitos. La expresión que buscas es

$$ \mathbb{P}(N_n = k) = \frac{\mathbb{P}( \left. S = k-n \right| S < n) \mathbb{P}(S < n) + \mathbb{P}( \left. F = k-n \right| F < n)\mathbb{P}(F < n)}{ \mathbb{P}(S < n) + \mathbb{P}(F < n) } $$ donde $S$ sigue $NeBi(n, p)$ y $F$ sigue $NeBi(n, 1-p)$. Esto da

$$ \begin{eqnarray} \mathbb{P}(N_n = k) &=& \left( p^n (1-p)^{k-n} \binom{k-1}{n-1} +(1-p)^n p^{k-n} \binom{k-1}{n-1} \right) \frac{B(n,n) \chi_{n \le k < 2 n} }{B_p(n,n) + B_{1-p}(n,n) } \end{eqnarray} $$ donde $B_p(a,b)$ es la función Beta incompleta.

Añadido: Finalmente me di cuenta de que, dado que $B_{p}(n,n) = \int_0^p (t (1-t))^{n-1} \mathrm{d} t$, $B_p(n,n) + B_{1-p}(n,n) = \int_0^1 (t (1-t))^{n-1} \mathrm{d} t = B(n,n)$, por lo que el factor de normalización en realidad es igual a $1$.

Answer 3

No estoy seguro de haber entendido esto correctamente, pero:

Un ensayo termina ya sea en éxito o fracaso. Asumiendo que fue un éxito después de $k$ intentos, sabemos que tuvimos $n$ éxitos y $k-n$ fracasos, por lo que la probabilidad de que esto ocurra sería más bien

$$ P(S_n=k) = {{k}\choose{n}} (1-p)^{k-n}p^n.$$

Además, ten en cuenta que los escenarios de éxitos y fracasos son mutuamente excluyentes. No hay forma de reordenar los ensayos y cambiar el resultado para un dado $S_n$ o $F_n$.

Entonces, ¿no deberías tener más bien

$$ P(N_n=k) = P(S_n=k) + P(F_n=k) $$

dado que $S_n=k$ y $F_n=k$ se refieren a escenarios opuestos y mutuamente excluyentes ?

Finalmente, observa que para $k=2n-1$, hay éxito o fracaso automático (aún mutuamente excluyentes), por lo que puedes caracterizar completamente la distribución para $k \in [n,2n-1]$