Tengo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales:
$$x' = A x$$ donde $$ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array} \right) $$
He calculado los valores propios y los vectores propios, que son:
$$\lambda_1 = 1 \qquad \qquad v_1 =(2,-2,3)$$ $$\lambda_2 = 1 + 2i \qquad \qquad v_2 = (0,-i,1)$$ $$\lambda_3 = 1 - 2i \qquad \qquad v_3 = (0,i,1)$$
Ahora, la teoría en mi libro da las siguientes funciones como base de las soluciones del sistema lineal:
$$ \phi_i(t) = e^{t \lambda_i} \sum_{i=0}^{n_i-1} \dfrac{t^k}{k!}(A - \lambda_i I_n)^k v_i$$
donde $n_i$ es la multiplicidad de cada valor propio. Usando esta fórmula, obtengo las siguientes funciones como base de soluciones de mi problema:
$$\phi_1(t) = e^t (2,-2,3) \qquad \phi_2(t) = e^{(1+2i)t} (0,-i,1) \qquad \phi_3(t) = e^{(1-2i)t}(0,i,1)$$
Sin embargo, solo me interesan las soluciones reales. He notado que $\phi_2(t),\phi_3(t)$ son conjugadas, así que creo que sumándolas o restándolas (y creo que debería ser capaz de hacerlo sin problemas, dado que son una base de un espacio vectorial) obtendría la solución real que me interesa en forma de senos y cosenos.
¿Estoy en lo correcto? ¿Cómo haría eso en este ejemplo en particular?
