Encontrar una base de p2 que contenga mi subconjunto

Question

Escribe una base $B$ para $\mathbb{P}_2$ que contenga $W = \left\{x^2+x, 1\right\}$ como subconjunto.

Pude encontrar $W$ en otras partes de la tarea, pero no estoy seguro de cómo hacer esto.

Answer 1

No tengo suficiente reputación para comentar, así que estoy escribiendo una respuesta.

Sí, la dimensión de $\mathbb{P}_2$ es $3$. Una base de $\mathbb{P}_2$ está dada por $\beta_1=\{1,x,x^2\}$. Quieres completar $\beta_2=\{1,x^2+x\}$ en una base de $\mathbb{P}_2$. Pero puedes hacer esto simplemente agregando un elemento para que los elementos en $\beta_1$ puedan ser generados por los elementos de $\beta_2$.

Puedes $x$, es decir, considerar $\beta=\{1,x,x^2+x\}$. Entonces $\beta$ es una base de $\mathbb{P}_3$, ya que contiene $3$ elementos y

$$1=1,\;x=x,x^2=(x^2+x)-x$$