Resulta ser falso. Considere, por ejemplo, el grupo diedral $D_8$ de orden $8$, que puede verse como compuesto por reflexiones y rotaciones. El subgrupo $H$ generado por cualquier reflexión $h$ de orden $2$ es abeliano pero no es un subgrupo normal de $D_8$. De hecho, si $g\in D_8$ tiene orden $4$, entonces $g^{-1}Hg$ es un subgrupo diferente de orden $2$.
Más generalmente, aquí hay una condición necesaria y suficiente para que un subgrupo de orden $2$ sea un subgrupo normal.
Proposición. Sea $G$ cualquier grupo. Si $N$ es un subgrupo de $G$ tal que $|N|=2$, entonces $N\lhd G$ si y solo si $N\subseteq Z(G)$, donde $Z(G)$ es el centro de $G$.
Prueba. La implicación hacia atrás sigue del hecho de que la conjugación por cualquier elemento de $G$ fija cualquier elemento de $Z(G)$, incluyendo todos los elementos de $N$.
Volviendo ahora a la implicación directa. Sea $N\lhd G$, y suponga $N=\{e,x\}$, donde $e$ es el elemento identidad de $G$, y $x$ es cualquier elemento no identidad de $G$. Notamos que $e\in Z(G)$, porque $Z(G)$ es un subgrupo de $G$. Luego, sea $g\in G$. Tenemos, $$g^{-1}xg\in g^{-1}Ng=N$$ porque $N$ es un subgrupo normal de $G$. Por lo tanto, $g^{-1}xg=x$ o $g^{-1}xg=e$. Si $g^{-1}xg=e$, entonces $x=gg^{-1}=e$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $g^{-1}xg = x$. Se sigue que $x$ conmuta con cada elemento de $G$, por lo que $x\in Z(G)$. Dado que tanto $e$ como $x$ pertenecen a $Z(G)$, tenemos $N\subseteq Z(G)$. q.e.d.
