Evaluando límite en el infinito (problema algebraico)

Question

Q: evaluar $\lim_{x \to \infty}$ $ (x-1)\over \sqrt {2x^2-1}$

Lo que hice:

cuando $\lim_ {x \to \infty}$ debes poner el argumento en la forma de $1/x$ de modo que sepas que es igual a $0$

pero en este ejemplo lo más lejos que llegué fue

$\lim_{x \to \infty}$ $x \over x \sqrt{2}$ $1-(1/x) \over (1/x) - ??$

Answer 1

Consejo: escribir $$ \frac{(x-1)}{\sqrt {2x^2-1}} = \frac{x(1-\frac{1}{x})}{x\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}}= \frac{1-\frac{1}{x}}{\sqrt{2-\frac{1}{x^2}} $$ para $x > 0$. ¿Qué sucede con el numerador y el denominador cuando $x\to\infty$?

Answer 2

$\frac{x-1}{\sqrt{2x^{2}-1}}=\frac{x-1}{x \sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{1-\frac{1}{x}}{\sqrt{2-\frac{1}{x^{2}}}}$. Por lo tanto, el límite es $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Answer 3

$$\lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-1}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-2}}$$

$$\lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2}x}\le \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-1}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2(x^2-1)}}$$

$$\lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}x}\le \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-1}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\sqrt{\dfrac{x-1}{2(x+1)}}$$

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-1}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\sqrt{\dfrac{x+1-2}{2(x+1)}}$$

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-1}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x+1}}$$

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\le \lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-1}}\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

In fact we can say $\lim_\limits{x\to\infty}\dfrac{x-1}{\sqrt{2x^2-1}}\to \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ from beneath.