La forma cerrada a una interesante serie: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^3}$

Question

Intutitively, yo siento que hay una forma cerrada para $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^3}$$

No sé por qué, pero esta suma realmente ha sido difícil. Intento de manipulación de un Mellin Transformación en la solución integral:

$$\int_0^\infty \frac{\text{d}x}{1+x^3}=\frac{\pi}{3}\csc \frac{\pi}{3}$ $ , Pero con poco éxito.

Comprobación W|A da la austera solución: $$\frac{1}{3}\sum_{\{x|x^3+1=0\}} x \space\text{digamma}(1-x) $$

Que estoy completamente de no entender. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia. Usted puede utilizar la siguiente serie representación de la función digamma $$ \psi(z+1) + \gamma = \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}n - \frac{1}{n+z}\right).\tag1 $$ Then your goal is to rewrite the general term of your series in a form allowing to use $(1)$. Usted puede comenzar con $$ \begin{align} \frac{1}{1+n^3}=\frac{1}{(n+1)(n-z_0)(n-\bar{z}_0)} \end{align} $$ where $\displaystyle z_0=\frac{1+\sqrt{3}}2$, a continuación, hacer un parcial fracción de descomposición dando

$$ \frac{1}{1+n^3}=a_1\left(\frac{1}n - \frac{1}{n+1}\right)+a_2\left(\frac{1}n - \frac{1}{n-z_0}\right)+a_3\left(\frac{1}n - \frac{1}{n-\bar{z}_0}\right). \tag2 $$

Sumando $(2)$ usted obtiene una forma cerrada de la serie inicial.