Límite superior en la distancia Lp de funciones antes y después del cambio de variables

Question

Configuración

Estoy intentando acotar la diferencia entre dos funciones: una antes del cambio de variables y la otra después.

Por ejemplo, sea $r \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}, 1 \leq p < \infty$ y $$ g \in L^p(\mathbb{R}^D) : \text{función } C^r\\ T : \mathbb{R}^D \to \mathbb{R}^D : \text{función } C^r\\ f_T(x) := g(T(x)) \left|\det \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d}x}(x)\right|. $$

Objetivo

Quisiera acotar la perturbación debida a $T$, en términos de la norma $L^p$.

Sea $$ F[T] := \|f_T - g\|_{L^p} := \left(\int |f_T (x) - g(x)|^p dx\right)^{1/p}. $$ Para dos funciones $C^r(\mathbb{R}^D, \mathbb{R}^D)$, $T, T'$, quisiera tener una cota superior en la diferencia en $F$, es decir, $$ F[T'] - F[T] \leq (\text{Algún límite superior que depende de } (T' - T)). $$

El resultado no tiene que ser para todos los $p$ y $r$, y estoy interesado en cualquier resultado de este tipo para un conjunto específico de $p$ o $r$. El espacio donde residen estas funciones también es variable, y cualquier sugerencia apropiada para el cambio es muy apreciada.

Preguntas

1. ¿Existen resultados conocidos de tal cota superior bajo algunas condiciones suaves?
2. ¿Es la configuración anterior apropiada? ¿Existen sugerencias como qué espacio de funciones utilizar o qué propiedades asumir sobre las funciones?
3. Si no, ¿alguien tiene alguna idea de cómo debería derivar una cota superior?

P.D. No estoy completamente familiarizado con el análisis funcional, así que si hay ambigüedades o terminología imprecisa, las corregiré si pudieras señalarlas.

Answer 1

Esto no es una respuesta, pero es un poco largo para un comentario. Voy a escribir $\varphi$ para tu $T$, solo por consistencia con la notación en un libro que voy a mencionar.

Sea $X = \{ g \hspace{.2pc} \mathrm{d}x^1\wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^D: g\in L^p(\mathbb{R}^D)\}$. Entonces cada difeomorfismo adecuado$_1$ $\varphi$ de $\mathbb{R}^D$ nos da un operador de retrotracción asociado $\varphi^*:X \to X$ que, suponiendo que te adhieres a $\varphi$ preservando la orientación, es simplemente el mapa lineal $g\mapsto f_T$. La cantidad que te interesa es entonces

$$ F[\varphi] = \Vert (I-\varphi^*)g\Vert, $$

donde $I:X\to X$ es el operador identidad. Entonces tienes:

$$ \begin{array}{lll} F[\varphi_1] & = & \Vert (I-\varphi_1^*)g\Vert \\ &=& \Vert ( I-\varphi_2^* + \varphi_2^* - \varphi_1^*)g\Vert \\ &\leq& F[\varphi_2] + \Vert (\varphi_2^* - \varphi_1^*)g\Vert \end{array} $$

por lo que $F[\varphi_1] - F[\varphi_2] \leq \Vert g \Vert\Vert \varphi_1^*-\varphi_2^*\Vert_\mathrm{op}$ para cualquier par de $\varphi_1$ y $\varphi_2$ que preserven la orientación.

No estoy seguro de qué límites están disponibles para la norma del operador de $\varphi_1^*- \varphi_2^*$, pero The Pullback Equation for Differential Forms de Csato, Dacorogna y Kneuss parece que podría contener material relacionado.