Let $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ sean las raíces de un polinomio $p(z)$, ¿qué hacer a continuación para este problema?

Question

Para este problema:

Sea $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ las raíces de un polinomio complejo $p(z)$, listadas de acuerdo a su multiplicidad, y supongamos que $p(0) \neq 0$. Demuestra que

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}^{2}}=\left(\frac{p^{\prime}(0)}{p(0)}\right)^{2}-\frac{p^{\prime \prime}(0)}{p(0)} $$

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Estoy pensando:

Sé que puedo escribir el polinomio como: $$ p(z)=\sum_{n=0}^{N} c_n z^n $$ entonces las derivadas son $$ p^{'}(z)=\sum_{n=0}^{N} n c_n z^{n-1} $$ $$ p^{''}(z)=\sum_{n=0}^{N} n (n-1) c_n z^{n-2} $$

Entonces el lado derecho de la ecuación se convierte en: $$ \left(\frac{p^{\prime}(0)}{p(0)}\right)^{2}-\frac{p^{\prime \prime}(0)}{p(0)} =\frac{n^2 c_1^2 - n (n-1) c_2}{c_0} $$ porque $$ \frac{p^{\prime}(0)}{p(0)}=\frac{n c_1}{c_0} $$ y $$ \frac{p^{\prime\prime}(0)}{p(0)}=\frac{n (n-1) c_2}{c_0} $$

Pero no estoy seguro de qué hacer a continuación, ¿alguien podría ayudarme con esto? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Dado que $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ son ceros del polinomio $p(z)$, tenemos que $p(z)=c(z-a_{1})(z-a_{2})\ldots(z-a_{n})$, donde $c\in\mathbb{C}$ es una constante no nula. Haciendo cálculos directos, $$ \frac{p'(z)}{p(z)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z-a_{k}}. $$ Diferenciando nuevamente, obtenemos \begin{eqnarray*} \frac{p''(z)p(z)-[p'(z)]^{2}}{p^{2}(z)} & = & \sum_{k=1}^{n}\frac{-1}{(z-a_{k})^{2}}. \end{eqnarray*} Lo anterior es válido siempre y cuando $z\notin\{a_{1},\ldots,a_{n}\}$. Se tiene que $0\notin\{a_{1},\ldots,a_{n}\}$. Tomando $z=0$, entonces \begin{eqnarray*} -\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}^{2}} & = & \frac{p''(0)}{p(0)}-\left[\frac{p'(0)}{p(0)}\right]^{2}. \end{eqnarray*} Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}^{2}}=\left[\frac{p'(0)}{p(0)}\right]^{2}-\frac{p''(0)}{p(0)}. $$

Answer 2

Dadas las funciones diferenciables $f_1,\dots, f_n$ entonces si $g(z)=f_1(z)f_2(z)\cdots f_n(z)$ obtenemos la regla general del producto:

$$g’(z)=\sum_{j=1}^n f_j’(z)\prod_{i\neq j}f_i(z)=g(z)\sum_{j=1}^n \frac{f_j’(z)}{f_j(z)}$$

Cuando $$p(z)=c(z-a_1)(z-a_2)\cdots (z-a_n)$$ esto significa:

$$\frac{p’(z)}{p(z)}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{z-a_k}\tag1$$

También tienes:

$$ \begin{align} \left(\frac{p’(z)}{p(z)}\right)^2-\frac{p’’(z)}{p(z)}&=\frac{p’(z)p’(z)-p(z)p’’(z)}{p^2(z)}\\&=-\left(\frac{p’(z)}{p(z)}\right)’\\&=\sum_{i=1}^n\frac{1}{(z-a_i)^2} \end{align} $$ El último paso al derivar $(1).$

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$T(f)=\frac{f’}f$ es la derivada de $\log f,$ y se llama la derivada logarítmica. Tiene la propiedad $T(fg)=T(f)+T(g),$ porque lo hace $\log$.

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Tu enfoque da: $$p(0)=c_0\\p’(0)=c_{1}\\p’’(0)=2c_2.$$

Quieres evaluar $$\frac{c_1^2}{c_0^2}-\frac{2c_2}{c_0}=\frac{c_1^2-2c_0c_2}{c_0^2}$$

Luego necesitas saber que $$c_1=-c_0\sum_{i=1}^n\frac1{a_i}\\ c_2=c_0\sum_{i

Answer 3

Enfoque alternativo:

$$p(z) = \prod_{i=1}^n (z - a_i),$$

con $0$ no siendo un elemento de $\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}.$

Puedes calcular $p(0), p'(0),$ y $p''(0)$ calculando los coeficientes $c_0, c_1, c_2$ que están asociados con $z^0, z^1, z^2$ respectivamente, en $p(z)$.

$$c_0 = (-1)^n \times \prod_{i=1}^n a_i.$$

$$c_1 = \sum_{i=1}^n \frac{(-a_1) \times (-a_2) \times \cdots \times (-a_n)}{-a_i} = c_0 \times \sum_{i=1}^n \frac{1}{-a_i}.$$

Sea $S = \sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{1}{a_i a_j}$ [es decir, $S$ es la suma de $\binom{n}{2}$ fracciones].

Entonces, $$c_2 = S \times c_0.$$

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$$p(0) = c_0.$$

Dado que $\frac{d}{dz}c_1z = c_1,$ tenemos que $$p'(0) = c_1.$$

Dado que $\frac{d^2}{dz}c_2z^2 = 2c_2,$ tenemos que $$p''(0) = 2c_2.$$

Por lo tanto,

$$\frac{p'(0)}{p(0)} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{-a_i},$$

y

$$\frac{p''(0)}{p(0)} = 2S = 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} \frac{1}{a_i a_j}.$$

Para calcular $\left(\frac{p'(0)}{p(0)}\right)^2$, debes considerar que tendrás $n^2$ términos. $n$ de estos términos estarán representados por

$$\sum_{i = 1}^n \left(\frac{1}{-a_i}\right)^2.$$

Los otros $(n^2 - n)$ términos estarán representados por

$$\sum_{i \neq j} \frac{1}{a_i a_j} = 2S = \frac{p''(0)}{p(0)}.$$

Por lo tanto

$$\left(\frac{p'(0)}{p(0)}\right)^2 = \sum_{i = 1}^n \left(\frac{1}{-a_i}\right)^2 + \frac{p''(0)}{p(0)}.$$