El enunciado completo del problema es:
Medido desde el momento en que los primeros rayos de sol aparecen sobre el horizonte hasta el momento en que el sol es completamente visible, el amanecer dura 2.1 minutos. Basándote en esta información, y asumiendo que la tierra y el sol son "cuerpos negros", ¿puedes estimar la temperatura del sol?
Encontré este problema en un curso de física estadística: enlace.
No logro ver cómo podría conectar la información dada con la temperatura del Sol.
La hora del amanecer te da una estimación del tamaño angular del Sol, aproximadamente su diámetro dividido por la distancia a la Tierra.
Esto se deriva de dividir la hora del amanecer por 24 horas, asumiendo que esta es la fracción de $2\pi$ radianes ocupada por el disco solar, que el Sol se eleva perpendicularmente al horizonte y ignorando complicaciones debido a la atmósfera terrestre.
Suponiendo un equilibrio entre el flujo recibido y el flujo radiado, es fácil demostrar que la temperatura de equilibrio de la Tierra depende de la temperatura efectiva (cuerpo negro) del Sol multiplicada por la raíz cuadrada de su tamaño angular. Posiblemente debas incluir aquí la albedo de la Tierra.
Detalles:
El tamaño angular en radianes está dado por $2\pi\tau$, donde $\tau$ es la duración del amanecer expresada como fracción de un día y esto es igual al diámetro angular del Sol: $$2\pi \tau = \frac{2R}{D}\ , $$ donde $R$ es el radio del Sol y $D$ es la distancia Tierra-Sol.
Luego, el equilibrio de flujo entre el flujo interceptado por la Tierra y el flujo radiado por la Tierra, asumiendo que tanto el Sol como la Tierra irradian como cuerpos negros (y ignorando cualquier albedo) $$\left(\frac{4\pi R^2 \sigma T_{\rm Sun}^4}{4 \pi D^2}\right) \pi R_E^2 = 4\pi R_{E}^2 \sigma T_{E}^4\ , $$ donde $R_{E}$ y $T_{E}$ son el radio y la temperatura de la Tierra, y $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann.
Cancelando y reorganizando: $$T_{\rm Sun}^4 = 4\frac{D^2}{R^2}T_E^4 = \frac{4T_E^4}{\pi^2 \tau^2}\ .$$ Por lo tanto $$ T_{\rm Sun} = \sqrt{\frac{2}{\pi \tau}}T_E\ . $$
Si asumimos que $T_E\sim 280$ K (basado únicamente en nuestra experiencia de las temperaturas en la Tierra) y $\tau = 2.1/(24\times 60)$, entonces la respuesta sigue como $T_{\rm Sun} \simeq 5850$ K, y es sorprendentemente precisa. Pero supongo que la hora del amanecer de 2.1 minutos fue elegida para dar una respuesta sensata dado un tratamiento simple.
Sin embargo, podrías fácilmente hacer tu respuesta más sofisticada. Si el Sol no se eleva perpendicularmente al horizonte, o efectos refractivos hacen que sea visible antes de que haya despejado geométricamente el borde de la Tierra, entonces el diámetro angular calculado arriba sería un límite superior al verdadero diámetro angular, lo que llevaría a un límite inferior a la temperatura solar. La respuesta solo depende de la raíz cuadrada de este parámetro.
Exactamente qué elijas como la temperatura de equilibrio también está sujeto a debate. El valor que elegí arriba da aproximadamente la "respuesta correcta", pero probablemente sea un poco más bajo y se puede calcular de formas cada vez más sofisticadas, pero requeriría información adicional más allá de la simple observación y la experiencia cotidiana.
No, definitivamente no. La duración del amanecer depende del ángulo de inclinación entre la Eclíptica y el horizonte, que varía dependiendo de la latitud de la posición en la Tierra. Además, la duración será modificada por la refracción dependiendo de las condiciones atmosféricas locales.
En las regiones polares hay meses en los que el Sol permanece por encima o por debajo del horizonte (es decir, la duración del amanecer es cero) y períodos extendidos donde roza el horizonte durante todo un día (es decir, la duración del amanecer es de 24 horas). Además, es plausible asumir que cuando el Sol roza el horizonte hay períodos extendidos en los que su centro está significativamente por debajo del horizonte pero es visible debido a la refracción. Esto no implica que la temperatura del Sol esté variando día a día, o que la temperatura del Sol varíe para diferentes observadores.
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