¿Implica una varianza de cero una variable aleatoria constante?

Question

Logré demostrar que si una variable aleatoria es constante: $P(X = \mu) = 1$ entonces la varianza es cero:

$E[X^2] = \sum_{i = 1}^{k} p_iX_i^2 =>$ (dado que X_i es constante) $=> X^2\sum_{i=1}^kp_i = X^2$

$E[X]^2 = (\sum_{i=1}^{k}p_iX_i)^2 = (X\sum_{i=1}^{k}p_i)^2 = X^2$

Esto es relativamente sencillo con respecto a la varianza de $E[X^2]-E[X]^2$

Sin embargo, ¿es cierto lo contrario? ¿Una varianza cero implica necesariamente una variable aleatoria constante?

Answer 1

Una variable aleatoria no negativa con un valor esperado cero es casi seguramente igual a $0$. Esto se deriva de las propiedades de la integral.

Si aplicas esto a la variable aleatoria $(X-E(X))^2$, que es no negativa, asumiendo que $V(X)=E\left[(X-E(X))^2\right]=0$ implica que $(X-E(X))^2=0$ casi seguro, lo que significa que $X=E(X)$ casi seguro.