¿Cómo calculamos |G| = |Ox| · |Gx|?

Question

Se me dio un conjunto X y un grupo G y se me pidió encontrar Gx y Xg. Luego se me pidió encontrar la clase de equivalencia G de X para cada uno de los conjuntos de G, que es la órbita Ox, pero estoy teniendo problemas para verificar la siguiente ecuación.

Para cada x en X, verifica que |G| = |Ox| · |Gx|

Answer 1

La suposición básica es que $\;|G|<\infty\;$ , por supuesto.

Usando la notación $\;H/G\;$ para denotar el conjunto de coclases izquierdas del subgrupo $\;H\;$ en $\;G\;$ , define un mapa

$$f:\mathcal O(x)\to G_x/G\;,\;\;f(gx):=gG_x$$

Observa que

$$gx=hx\implies h^{-1}gx=x\implies h^{-1}g\in G_x\implies f(gx)=gG_x=hG_x=f(hx)$$

así que lo anterior muestra que el mapa está bien definido y también que es inyectivo (¿por qué? Verificar si podemos revertir las flechas de implicación anteriores).

Finalmente, dado que el mapa es claramente subjetivo, obtenemos

$$\left|\mathcal O(x)\right|=[G:G_x]=\frac{|G|}{|G_x|}$$

y hemos terminado.