Identidades de números reales opuestos (por qué $\cos(-x)=\cos x$)

Question

He estado estudiando sobre identidades de números reales opuestos y me he quedado atascado en esta pregunta sobre por qué $\cos(-x)=\cos x$. Bueno, si consideramos que el círculo dado es un círculo unitario y el triángulo $pom$ y el triángulo $qom$ son congruentes, entonces ¿cómo $\cos(-x)=\cos x$?

Según mi opinión, cuando hagamos base/hipotenusa para el triángulo qom entonces obtendremos $om/oq$ que debería dar $-\cos x$ ya que $oq$ es negativo, ¿verdad?

Por favor, ayúdame con esto.

Answer 1

$\cos x$ y $\sin x$ son respectivamente la abscisa y la ordenada del punto en el círculo con ángulo $x$.

Entonces, aquí, tus puntos $p$ y $q$ tienen la misma abscisa, de modo que $\cos x = \cos(-x)$. Observa que tienen ordenadas opuestas, por lo que $\sin(-x) = - \sin x$.

Answer 2

Un enfoque no geométrico sería considerar la definición en serie para el coseno. Con esto, para todo $x\in\mathbb R$ la serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ converge y

$$\cos(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$$

Para cada $x\in\mathbb R$, ahora puedes ver trivialmente que

$$\cos(-x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(-x)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(-1)^{2n}x^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=\cos(x)$$

Answer 3

Dado que ya has deducido que $\triangle OMQ \cong \triangle OMP$, esto significa que la longitud de $OQ$ es igual a la de $OP$. En otras palabras $|OQ|=|OP|$. Dado que son congruentes, sus lados son iguales en longitud y no opuestos en signo.

Por lo tanto, según la identidad

$$ \cos(\Theta)=\frac{\text{Adyacente}}{\text{Hipotenusa}}, $$

donde el lado adyacente también puede ser llamado la base. Tenemos

$$ \cos(x)=\frac{|OM|}{|OP|}, $$ y $$ \cos(-x)=\frac{|OM|}{|OQ|}=\frac{|OM|}{|OP|}=\cos(x). $$