¿Por qué $ a = b = 0 $ si y solo si $a = 0$ y $b = 0$

Question

Soy un estudiante de primer año en la universidad y tengo una pregunta sobre uno de mis cursos.

En la clase de lógica, estamos realizando una demostración para probar la siguiente hipótesis: $(a, b) \in \mathbb{R}^2$. Digamos $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \to ax^2+b \quad \;\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = 0 \implies a=b=0 $$

Para demostrarlo, usamos el contrapositivo ($P \to Q \iff \neg Q \to \neg P$), pero nuestro profesor simplifica $a=b=0$ a $a=0$ y $b=0$ para luego reemplazarlo en el contrapositivo con $a\neq0$ y $b\neq0$ (debido a que es $\neg Q$).

Pero ¿por qué $a=b=0$ no implica $a=b$? Porque según mi profesor, la negación de $a=b=0$ es $a\neq0$ o $b\neq0$, por lo que potencialmente $a=b=4$, y no entiendo cómo eso puede ser la negación de $a=b=0$ ya que $a=b$.

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Dado que $a=b$ es verdadero si $a=b=0$, $\neg(a = b = 0)$ es verdadero si $\neg(a = b)$. Sin embargo, la conversa de la primera afirmación no es verdadera, por lo que la conversa de la segunda no es necesariamente verdadera.