$\left|\int g(t)dt\right|=0$ entonces ¿podemos decir que $g=0$?

Question

Sea $g$ una función continua en $[0,1]$ tal que $$\left|\int g(t)dt\right|=0$$ entonces, ¿podemos decir que $g=0$?

Dado que $g$ es continua, también es medible. ¿Podemos obtener este resultado a partir de esto? Por favor, ayúdame.

Answer 1

De tu comentario a tu pregunta, la afirmación debería ser:

Sea $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ continua y tal que para todo $x,y\in[0,1]$ tenemos: $$\left|\int_x^yg(t)dt\right|=0$$ ¿Es necesariamente cierto que $g(x)=0$.

La respuesta a esta pregunta es sí.
De hecho, si asumimos que hay algún $x_0\in[0,1]$ con $g(x_0)\neq 0$, entonces (por continuidad) habría un pequeño vecindario cerrado $x_0\in[x_0-\epsilon,x_0+\epsilon]$ donde $g$ nunca es cero (y por lo tanto siempre es positivo o negativo, dependiendo del signo de $g(x_0))$. Entonces: $$\left|\int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon}g(t)dt\right|>0$$

Answer 2

Su condición, $$\left|\int g(t)dt\right| = 0,$$ es equivalente a $$\int g(t)dt = 0.$$ Esta condición no requiere que una función sea igual a cero. Dado que usted exige que solo la integral de la función sea cero, hay muchas funciones que cumplen con esto. De hecho, tome cualquier función $g(t)$. Ahora tome la función $G(t) = g(t) - C$ donde $C=\int_0^1g(\tau)d\tau$ (una constante). Observemos la integral de $G$: $$\int_0^1 G(t)dt = \int_0^1 g(t)dt - \int_0^1Cdt = \int_0^1g(t)dt - C = \int_0^1g(t)dt - \int_0^1g(\tau)d\tau=0.$$

Por lo tanto, hay muchas muchas muchas funciones que se integran a $0$ en $[0,1]$.

Se puede llegar a una conclusión mucho más sólida si $\int|g(t)|dt = 0$. En ese caso, $g(t)=0$ para casi todo $t\in[0,1]$ y, si $g$ es continua, $g(t)=0$.