Demostrar que hay un conjunto único $X$ tal que cada conjunto $Y$, $Y∪X = Y$

Question

Para esta demostración. Parece obvio que $X=$ tal que para cada conjunto $Y$, $YX = Y$ ya que $YX$ es simplemente Y. ¿Cómo debo proceder?

Permita que haya conjuntos $X,Z$

Dado que $YX = Y$ entonces,

{$x| x Y x X$} = {$x| x Y$}

Dado que $YZ = Y$ entonces,

{$x| x Y x Z$} = {$x| x Y$}

Entonces igualar los dos

{$x| x Y x Z$} = {$x| x Y x X$}

Por lo tanto se concluye que Z = X y se prueba que X es un conjunto único.

Answer 1

Primero, verifica que $X=\emptyset$ funcione. Ahora, supongamos que hay otra posibilidad $X\neq\emptyset$ que satisface el requisito. Luego, toma $Y=\emptyset$, y nota que $$ Y\cup X\neq Y $$ porque el RHS está vacío mientras que el LHS es igual a $X$ y por lo tanto tiene al menos 1 elemento.

Answer 2

Como dijo Kim Jong Un, lo primero es mostrar que $\emptyset$ cumple con tus requisitos.

Ahora, si $X$ tiene la propiedad, entonces, tomando $Y=\emptyset$, $X\subseteq \emptyset\cup X=\emptyset$. Así que $X\subseteq \emptyset$ y listo.

Answer 3

Necesitas un paso más después de tu última ecuación: Si $\{x :x\in Y\lor x\in Z\}=Y=\{x:x\in Y\lor x\in X\}$ se cumple para todo $Y$, entonces se cumple cuando $Y=X$: $$X=\{x:x\in X\lor x\in X\}=\{x: x\in X\lor x\in Z\}.$$ Y se cumple cuando $Y=Z$: $$Z=\{x:x\in Z\lor x\in Z\}=\{x:x\in Z\lor x\in X\}.$$ Comparando los RHS de estas ecuaciones, tenemos que $X=Z.$ ........ Más sucintamente, podemos obtener $$X=X\cup Z$$ aplicando $\forall Y\;(Y=Y\cup Z)$ al caso $Y=X,$ y podemos obtener $$Z=X\cup Z$$ aplicando $\forall Y\;(Y=X\cup Y)$ al caso $Y=Z.$ .... Así que $X=X\cup Z=Z.

Answer 4

Si existe un conjunto $X$ entonces:

$X \cup \emptyset = \emptyset $

Pero $X \cup \emptyset = X $

Entonces, si tal conjunto existe, debe ser el conjunto vacío.

El conjunto vacío es dicho conjunto, por lo que tal conjunto existe y es únicamente el conjunto vacío.

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2do argumento.

Sea S cualquier conjunto que no sea el conjunto vacío. Sea $x \in S $. Sea $Y $ cualquier conjunto que no contenga a $x $.

Entonces $x \in S \cup Y $ por lo que $S \cup Y \ne Y$.

Entonces, S no tiene la propiedad. Por lo tanto, solo el conjunto vacío tiene la propiedad.

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Argumento 3:

Sea X tal conjunto. Entonces $X^c \cup X = X^c $. Por lo tanto, $X^c $ no contiene elementos de $X $. Pero $X^c \cup X $ contiene todos los elementos de X.

Entonces, si tal conjunto existe, no tiene elementos. Debe ser el conjunto vacío.