Darse cuenta de la subdivisión no completamente baricéntrica de un politopo

Question

Dado un poset $S$, uno puede formar un nuevo poset $I(S)$ cuyos elementos son intervalos en $S$ (es decir, o bien $\emptyset$ o $[a,b]$ para algún $a\leq b\in S$) con ordenamiento por inclusión (de conjunto). Si $S$ tiene rango, entonces $I(S)$ también tendrá rango (por $r([a,b])=r(b)-r(a)$).

Si $S$ es la retícula de caras de un politopo de $d$ dimensiones $P$, ¿existe una forma canónica de construir un politopo de $d+1$ dimensiones $I(P)$ con la retícula de caras $I(S)$? ¿Existe un nombre para esta construcción?

Notas:

1) Las caras de 2 dimensiones siempre serán cuadriláteros.

2) El complejo celular subyacente no es la subdivisión bariónica, cuyas caras son las cadenas de $S$, no los intervalos.

3) Si aplicas la construcción a un símplice, deberías obtener un cubo (de una dimensión más alta).

4) Por supuesto, la mejor construcción debería preservar simetrías e interconectar la inclusión de una cara $F$ en $P$ con la de $I(F)$ en $I(P).

5) El único politopo del que realmente necesito una respuesta en este momento es el cubo tridimensional regular. Si esta construcción solo funciona para, digamos, politopos simples, estoy bien con eso.

Answer 1

Editar: Estaba incluyendo el conjunto vacío como una cara en mi respuesta anterior, lo que da como resultado el poset incorrecto I(S). Ahora he corregido mi respuesta a continuación para no incluir el conjunto vacío, cambiando significativamente la respuesta.

El poset I(S) no puede ser el poset de caras de ningún politopo, porque tendrá múltiples elementos maximales de la forma $[v, P]$ para los diferentes vértices de P. I(S) debería ser el poset de caras de una subdivisión de P. Esta subdivisión es menos refinada que la subdivisión baricéntrica del politopo. Sus vértices son los baricentros de las caras, pero sus aristas solo conectan baricentros de caras de dimensiones consecutivas, a diferencia de la subdivisión baricéntrica del politopo original donde provendrían de todos los pares de inclusión de caras. Se puede continuar hacia arriba en dimensión, describiendo de igual manera las caras de la subdivisión llenando progresivamente sus esqueletos inferiores.

También preguntas sobre el cubo específicamente. Tu subdivisión en ese caso es cúbica, dividiendo cada cara cúbica de i dimensiones del cubo original en 2^i caras cúbicas de dimensión i.