Evaluar:
$$S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{n^2}$$
Usando análisis complejo.
Solo necesito pistas, no he intentado nada,
pero creo que tiene que ver con los residuos.
Respuesta
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Al usar un lema que ya preguntaste para probar, si tomamos $f(z)=(\gamma+\psi(-z))^2$, los polos de $f(z)$ ocurren en $z=0,1,2,\ldots$ y para cualquier $n\in\mathbb{N}^*$ tenemos: $$\operatorname{Res}\left(f(z),z=n\right) = 2H_n,$$ entonces: $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{H_n}{n^2}=-\operatorname{Res}\left(\frac{f(z)}{z^2},z=0\right)=-\operatorname{Res}\left(\left(\frac{\gamma+\psi(-z)}{z}\right)^2,z=0\right).\tag{1}$$ Por otro lado, como en una vecindad punteada de $z=0$: $$\gamma+\psi(-z) = \frac{1}{z}-\zeta(2) z-\zeta(3)z^2-\zeta(4)z^4+\ldots \tag{2}$$ sucede que: $$\left(\frac{\gamma+\psi(-z)}{z}\right)^2=\frac{1}{z^4}-\frac{2\zeta(2)}{z^2}-\frac{2\zeta(3)}{z}+\frac{\zeta(4)}{2}+\ldots\tag{3}$$ así que, por $(1)$, $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{H_n}{n^2}=\color{red}{2\,\zeta(3)}.\tag{4}$$
