Cuando alguien realiza el experimento de la doble rendija de Young, la persona ve un patrón de interferencia en la pantalla. ¿Cuánto tiempo se tarda en que aparezca el patrón en la pantalla? ¿Es la distancia entre la rendija y la pantalla dividida por la velocidad de la luz? Otra forma de plantear la pregunta es cuando los fotones se convierten en ondas, ¿la velocidad de propagación de la onda es igual a la velocidad de la luz?
Respuestas
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Constandinos Damalas
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La luz es una onda, no cambia su naturaleza de partícula a onda. La luz, y esto es válido para cualquier partícula, es una excitación en algún campo, y modelamos su propagación/evolución en el tiempo usando ondas, pero también cuantizamos algunos de los parámetros de esa onda, y en cierto sentido, lo modelamos como una partícula cuando es conveniente.
Ahora respondiendo a tu pregunta, la luz durante el experimento siempre se propaga a la velocidad de la luz $c$.
Esta pregunta se trata todo acerca de la relación señal-ruido que se logra en su configuración experimental, por lo que los detalles dependen mucho de este último. Aquí están los principios físicos que usaría para calcular cuánto tiempo toma que se forme un patrón de franjas.
Suponiendo que la fuente envía fotones no entrelazados, cada fotón se propaga siguiendo las ecuaciones de Maxwell. Por lo tanto, la densidad de probabilidad de absorción como función del tiempo se puede calcular como una intensidad clásica en función del tiempo. En pocas palabras, esto significa que el tiempo tomado para que el patrón llegue a la pantalla es simplemente el retraso de propagación: la distancia de propagación $\ell$ dividida por $c$.
Sin embargo, la mayor parte del tiempo para que se forme el patrón de interferencia es el tiempo que tarda cada detector - cada píxel, si lo prefiere - en el patrón de interferencia en registrar suficientes fotones para que pueda informar, con el nivel adecuado de confianza estadística, que el número de fotones que ha registrado es más bajo o más alto que el de los detectores vecinos de manera que los datos recopilados de todo el conjunto de detectores indiquen lo que llamaríamos "franjas".
Esto probablemente se explica de forma más fácil mediante un cálculo simple. Supongamos que tenemos una serie de detectores CCD alineados a lo largo de la pantalla de detección. El patrón de franjas se formará más rápido cuando el espaciado del detector sea exactamente el espaciado de las franjas. Si la visibilidad de las franjas es $\mathscr{V}$, entonces la relación de la intensidad de luz en los valles con la de los picos es:
$$I_{min} = I_{\max}\frac{1-\mathscr{V}}{1+\mathscr{V}\tag{1}$$
Si el área de cada detector es $A$, entonces el número medio de fotones que llegan por segundo es
$$\mu(I)=\frac{I\,A\,\lambda}{h\,c}\tag{2}$$
donde $\lambda$ es la longitud de onda de la luz. Las llegadas de fotones de la mayoría de las fuentes de CW como los láseres siguen distribuciones de Poisson, por lo que si el tiempo de recolección de luz de un detector es $\delta t$, entonces el número de fotones realmente recogidos en ese tiempo seguirá una distribución de Poisson con una media de:
$$\mu(I,\,\delta t) = \frac{I\,A\,\lambda\,\delta t}{h\,c}\tag{3}$$
por lo que lo que estás buscando es un $\delta t$ tal que haya una probabilidad "abrumadora" de que el número de fotones detectados en cada pico del campo de fotones sea mayor que el número detectado en cada valle. Aquí es donde entran en juego los niveles de confianza estadística en el cálculo. En símbolos, queremos que la probabilidad de que:
$$N_p\left(\left(\frac{\eta\,I_{\max}\frac{1-\mathscr{V}}{1+\mathscr{V}}\,A\,\lambda}{h\,c} + \sigma_D\right)\,\delta t\right) < N_p\left(\left(\frac{\eta\,I_{max}\,A\,\lambda}{h\,c} + \sigma_D\right)\,\delta t\right)\tag{4}$$
sea mayor que algún nivel de confianza "razonable"; digamos $0.9$ para un cálculo aproximado. Aquí $N_p(\mu)$ es el número de eventos de medición de fotones que una variable de Poisson con media $\mu$ realmente asume en una observación dada. También he agregado un ruido constante residual del detector $\sigma_D$ que siempre estará presente debido al ruido en la electrónica del detector y demás. Es el número de detecciones "falsas positivas" por unidad de tiempo y, en la mayoría de los casos, con fotodetectores, representa la "corriente oscura". También he agregado una eficiencia cuántica $\eta$ para los detectores; esta es una probabilidad de una detección "falsa negativa" y para detectores modernos $\eta \approx 0.8$ es razonable. El cálculo anterior es bastante complicado de hacer correctamente, ya que la diferencia entre dos RV de Poisson no es una RV de Poisson (las distribuciones de Poisson no tienen la agradable propiedad de autoreplicación bajo sumatorias que tienen las distribuciones normales o Chi-cuadrado), por lo que hacemos una aproximación normal para un cálculo rápido. Reorganizando (4) en este caso muestra que el número de fotones del detector de pico es mayor que el del detector de valle por una variable aleatoria normal aproximada cuya media $\mu$ y desviación estándar $\sigma$ son:
$$\mu = \frac{2\,\eta\,I\,\mathscr{V}\,A\,\lambda}{h\,c}\,\delta t;\;\sigma^2 = 2\,\left(\frac{\eta\,I\,A\,\lambda}{h\,c}+\sigma_D\right)\delta t\tag{5}$$
(aquí simplemente he sumado las varianzas de las dos variables de Poisson, dado que la varianza de una RV de Poisson es igual a su media) y queremos elegir $\delta t$ de tal manera que la probabilidad de que esta variable aleatoria sea positiva sea igual a nuestro nivel de confianza. Aquí he usado $I = I_{\max} / (1+\mathscr{V})$ para reescribir mi ecuación en términos de la intensidad media del patrón de franjas $I$ en lugar del pico $I_{\max}$. Pongamos algunos números para un experimento. Supongamos que hacemos nuestro experimento con una intensidad de luz de $10^3\mathrm{W m^{-1}}$; esta es una intensidad de laboratorio razonable si un láser de $100mW$ (ojo: este es al menos un láser de clase 3B si está haciendo esto) ilumina un patrón de interferencia que tiene un centímetro de ancho y supongamos que nuestra área de píxel es $10^{-10} m^2$, esto corresponde a celdas CCD muy grandes. Entonces, en $\lambda = 5\times 10^{-7}m$, una eficiencia cuántica de $\eta=0.8$, una visibilidad de franjas de 0.5 y una medición perfectamente limpia ($\sigma_D=0$), obtenemos:
$$\mu \approx 2\times 10^{11}\,\delta t;\;\sigma^2 \approx 4\times 10^{11}\,\delta t\tag{6}$$
(aquí el $2\,\sigma^2$ viene del hecho de que estamos restando y con un valor crítico de la distribución normal para $\alpha=0.9=90\%$ de confianza de $\sqrt{2}\,\mathrm{erf}^{-1}(\alpha) \,\sigma \approx 1.64 \sigma$, necesitamos $\mu-1.64\,\sigma\geq0$ o
$$ 2\times 10^{11}\,\delta t \geq 1.64\times \sqrt{4\times 10^{11}\,\delta t}\,\Rightarrow\,\delta t \geq \frac{1.64^2\times 4\times 10^{11}}{2^2\times 10^{22}}\tag{7}$$
es decir aproximadamente 30 picosegundos, momento en el cual ha recopilado aproximadamente
$$3\times 10^{11} \times10^{-10} \times 5\times 10^{-7}/(h\,c)\approx 15$$
fotones por píxel. Su electrónica probablemente no sea tan rápida, por lo que el retraso electrónico es el factor dominante. Más típicamente, la luz se distribuye mucho más ampliamente y necesita recopilar luz durante mucho más tiempo para obtener franjas de alta calidad: un interferómetro que he utilizado para probar lentes pequeñas tarda al menos varios microsegundos en recopilar un patrón de franjas y he calculado que está muy cerca de lograr la situación ideal estudiada anteriormente. El ruido cuántico (variación de la llegada de fotones con las estadísticas de Poisson descritas anteriormente) limita con mucha más frecuencia de lo que piensas la interferometría y la microscopía de alta velocidad.
Otra forma cualitativa de responder a tu pregunta es hacer que Mathematica (u otra simulación numérica) calcule patrones de franjas simulados asignando posiciones de fotones al azar de acuerdo con un patrón de intensidad, y luego aumentar el número total de fotones hasta que tu patrón de franjas se vea claro. Luego necesitas calcular cuánto tiempo de adquisición de señal necesitas dado las intensidades calculadas en tu configuración experimental. Pero encontrarás que alrededor de 15 fotones por píxel es una cifra bastante representativa. En los instrumentos que he diseñado, un estándar de diseño común es apuntar a 100 fotones por píxel; esto te da aproximadamente una relación señal-ruido de 10dB, dado que la varianza es entonces $\sqrt{100}=10$ fotones por píxel.
