Solución de una ecuación diferencial lineal

Question

Encuentra la solución general de la ecuación $$ \frac{dy}{dx}=1+xy $$

Mi intento: Organizándola en forma estándar de ecuación lineal $\frac{dy}{dx}+Py=Q$, obtenemos $$\frac{dy}{dx}+(-x)y=1$$ Por lo tanto, el factor integrante (F.I.) = $e^{\int-xdx}=e^{-x^2/2}$ Por lo tanto, la solución es $$y(e^{-x^2/2})=\int{e^{-x^2/2}dx}+c$$

¿Cómo resuelvo ahora esta integral?

Answer 1

Como menciona un comentarista, la solución es:

$$y(x)=c_1 e^{\frac{x^2}{2}}+\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{\frac{x^2}{2}} \text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$$

Una cosa a tener en cuenta aquí es que la función erf(x) a veces no es muy conocida. Según wolfram alpha, [https://www.wolframalpha.com/input/?i=erf()](https://www.wolframalpha.com/input/?i=erf()), la función erf() se define como:

$$\text{erf(x)}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x}{e^{-t^2}dt}$$

Ahora cuando tienes:

$$\int{e^{-x^2/2}dx}$$

Se puede reescribir como:

$$\int{e^{-(x/\sqrt{2})^2}dx}$$

Vamos a reemplazar $x/\sqrt{2}=t$. Esto nos dice que $dx=\sqrt{2}dt$.

Haciendo la sustitución: $$\sqrt{2}\int{e^{-t^2}dt}$$ Ya que necesitamos insertar límites, se puede mostrar que: $$\int_0^t{e^{-z^2}dz}=\int{e^{-t^2}dt}+C$$ Combinando todo eso: $$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf(t)}+C)=\sqrt{2}\int{e^{-t^2}dt}$$ Esto significa que: $$y(e^{-x^2/2})=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C)$$ Confío en que puedas simplificar a partir de ahí.

Answer 2

La ecuación incompleta es $$\frac {y'}{y}=x $$

así $$\ln (\frac {y}{\lambda})=\frac {x^2}{2} $$ y $$y_h=\lambda e^{\frac {x^2}{2}} $$

el método de variación de la constante da

$$\lambda'(x)=e^{\frac {-x^2}{2}} $$

la solución general es

$$y_g=\Bigl(\lambda+\int e^{\frac {-x^2}{2}}dx\Bigr)e^{\frac {x^2}{2}}$$