Considera el siguiente ejemplo.
Los vectores sobre, digamos, el campo $\mathbb{R}$, con dimensión finita $n$, nos gustaría entenderlos prototípicamente como listas o tuplas:
$$\mathbf{v} = (a_1, a_2, \cdots, a_n).$$
Nota aquí que el lado derecho es literalmente una tupla de números reales; es la "esencia" de lo que los objetos en el espacio "$\mathbb{R}^n$" "realmente son". Los reales $a_j$ son los componentes del vector, que no son el mismo concepto que las coordenadas, que se refieren a los valores $b_j$ cuando $\mathbf{v}$ se expresa en una base $\mathcal{B}$:
$$\mathbf{v} = b_1 \mathbf{b}_1 + b_2 \mathbf{b}_2 + \cdots + b_n \mathbf{b}_n$$
donde $\mathcal{B} = \{ \mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \cdots, \mathbf{b}_n \}$. Dada una base, cualquier vector tiene coordenadas, pero no todos los vectores tienen componentes, ya que los elementos del conjunto del espacio vectorial actual no necesariamente son solo tuplas.
Pero aquí está la cosa: es bastante obvio que, en este caso, tenemos una base donde las coordenadas y los componentes son idénticos, a saber:
$$\begin{matrix} \mathbf{e}_1 := (1, 0, 0, \cdots, 0)\\ \mathbf{e}_2 := (0, 1, 0, \cdots, 0)\\ \cdots\\ \mathbf{e}_n := (0 ,0, 0, \cdots, 1)\end{matrix}$$
Entonces el vector $(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \sum_{j=1}^{n} a_j \mathbf{e}_j$ y las coordenadas y componentes son idénticos. Llamamos a esto la base estándar para $\mathbb{R}^n$.
Ahora, considera dimensión infinita. Es bastante natural extender los vectores con una tupla infinita de números reales, a una tupla infinita o quizás como a algunos les resulte más cómodo decir, una "secuencia" (son "equivalentes" aunque uno podría llamarlos diferentes "tipos de datos"):
$$\mathbf{v} = (a_1, a_2, a_3, \cdots)$$
donde ahora hay infinitos componentes $a_j$. Nos gustaría, entonces, por analogía con antes, escribir una base en la forma
$$\begin{align} \mathbf{e}_1 := (1, 0, 0, 0, \cdots)\\ \mathbf{e}_2 := (0, 1, 0, 0, \cdots)\\ \mathbf{e}_3 := (0, 0, 1, 0, \cdots)\\ \cdots\end{align}$$
para que pudiéramos decir
$$\mathbf{v} = \sum_{i=1}^{\infty} a_i \mathbf{e}_i.$$
El problema, sin embargo, es que por definición, una suma infinita como esta requiere que tomemos el siguiente límite:
$$\mathbf{v} = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(\sum_{i=1}^{n} a_i \mathbf{e}_i\right).$$
Y lo que está en los paréntesis es un vector, así que lo que tenemos es un límite de vectores.
Pero los límites no tienen sentido a menos que tengamos alguna forma de comparar vectores para nociones como cercanía, o "aproximación", o lo que sea!
Por lo tanto, si queremos poder usar la "base" que hemos dado anteriormente, debemos agregar alguna estructura adicional al espacio, que especifique cómo funcionan los límites o las aproximaciones, es decir, "quién está dentro de alguna tolerancia de quién", para que la suma infinita esté definida en absoluto, y para que genere el resultado que nos gustaría que genere.
Así que no, el espacio vectorial en sí mismo no "necesita" una topología, pero construir adecuadamente una en él nos permite hacer un montón de cosas que nos gustaría poder hacer pero de otro modo no podríamos.
