¿Cómo se encuentra la Descomposición de Valores Singulares reducida de un vector de fila o columna?

Question

Si tratamos un vector columna $a$ como una matriz $n \times 1$, o un vector fila $a^T$ como una matriz $1 \times n$, ¿cómo se escribiría la descomposición en valores singulares reducida de $a$?

Answer 1

$$a=(a/\| a \|) \begin{bmatrix} \| a \| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}.$$

Esto se sigue prácticamente conociendo la forma de una SVD reducida: si $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ entonces $U \in \mathbb{C}^{m \times r}, \Sigma \in \mathbb{R}^{r \times r}, V^* \in \mathbb{C}^{r \times n}$, donde $r=\text{rango}(A)$. Ahora toma $m=k,r=1,n=1$ (donde $a$ es de tamaño $k \times 1$).

Answer 2

Sé que esto no es una respuesta, pero podría ser instructivo escribir el SVD completo:

Para una fila $a^T$, deja $U=1$, $\Sigma =\begin{bmatrix} \|a\| & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$, $V = \begin{bmatrix} {1 \over \|a\|} a^T \\ v_2^T \\ \vdots \\ v_n^T \end{bmatrix}$, donde ${1 \over \|a\|} a^T, v_2, \cdots,\ v_n$ forman una base ortonormal.

Para una columna $a$, reemplaza $U,\Sigma, V$ por $V^T, \Sigma^T, U^T$ respectivamente.

Answer 3

La SVD truncada de $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ sería $$\mathbf{a} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^{T},$$ donde $\mathbf{U} = \mathbf{a} / \|\mathbf{a}\|\in \mathbb{R}^{n \times 1}$, $\mathbf{\Sigma} = [\|\mathbf{a}\|] \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$ y $\mathbf{V} =[1] \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$.

Esencialmente, lo único no trivial en esta descomposición es normalizar la longitud de $\mathbf{a}$ para obtener $\mathbf{U}$, porque la descomposición (al menos según mi entendimiento) requiere que $\mathbf{U}$ (y $\mathbf{V}$) tengan columnas ortonormales.

La SVD completa podría obtenerse ajustando $\mathbf{U} = \left[ \frac{1}{\|\mathbf{a}\|}\mathbf{a} \;\; \mathbf{U}^{\prime}\right]\in \mathbb{R}^{n \times n}$, con $\mathbf{U}^{\prime}$ siendo cualquier matriz $n \times (n-1)$ con columnas ortonormales que también sean ortogonales a $\mathbf{a}$, $\mathbf{\Sigma} = [\|\mathbf{a}\| \; 0\; 0 \; \dots \; 0]^{T} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$ y $\mathbf{V} =[1] \in \mathbb{R}^{1 \times 1}$.